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Balle dans un récipient en rotation

Posté par
VVictor33
13-01-21 à 14:47

Bonjour, je dois déterminer la force de pression sur une balle de ping pong dans un récipient cylindrique de rayon R et de hauteur H remplit d'eau. La balle de ping pong est à une distance d de l'axe de rotation qui tourne à une vitesse constante \omega.

J'ai donc déterminé mon champ de pression qui est :

p(r,z) = \frac{\rho \omega ^{2}}{2}r^{2}-\rho gz+cste

Je dois maintenant déterminer la force de pression sur la balle de ping pong mais j'ai quelques problèmes pour calculer l'intégrale suivante :

\int_{balle}^{}{p(r,z)}\vec{dS}
J'ai essayé d'appliquer un changement de variable en posant :

r=\sqrt{R'^{2}+2R'dcos(\theta')+d^{2}}
z = R'sin(\varphi )
Avec \theta et \varphi allant de 0 à 2\pi

Mais cela me semble bien complexe alors que je ne dispose même pas de la valeur du rayon de la balle que j'ai ici appelé R'.

Pouvez vous m'aider ?

Balle dans un récipient en rotation

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 14:52

Bonjour
As-tu pensé à utiliser les coordonnées sphériques en prenant comme origine le centre de la balle ?

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 14:55

Ce n'est pas ce que j'ai fait en appliquant mon changement de variable sur r et z ?

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:02

Tu peux aussi décomposer ton étude en deux parties indépendantes :
1° influence de la variation de pression en fonction de z : la situation est simple : tu retombes sur la poussée d'Archimède.
2° influence de la variation de pression en fonction de la distance à l'axe de rotation. Tu peux alors travailler comme déjà dit en coordonnées sphériques. Il y a des simplifications compte tenu des symétries...

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:05

Dans la question pour déterminer les forces de pression il est dit :
"On notera que

\int_{balle}^{}{r\vec{e_{r}}} = VG_{r}\vec{e_{r}}

avec G_{r} la coordonnée du centre de masse de la balle suivant \vec{e_{r}}"
Mais je n'ai pas compris à quoi cela pouvait servir... C'est peut être de cela dont vous voulez parler en me disant de passer en coordonnées sphériques avec le centre de la balle comme origine ?

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:11

Citation :
Ce n'est pas ce que j'ai fait en appliquant mon changement de variable sur r et z ?

D'accord pour r sous réserve d'une figure claire indiquant ce que tu appelles. D'un auteur à l'autre, les permutations entre   et sont fréquentes.
J'imagine que la profondeur du centre O de la balle est connue.

Posté par
gts2
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:11

Bonjour,

Juste une remarque : avez-vous pensé au théorème d'Archimède ?

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:16

Citation :
J'imagine que la profondeur du centre O de la balle est connue.


Pour la profondeur de la balle je sais seulement qu'elle est attachée par un fil de longueur l au fond du réservoir mais je ne connaît pas son rayon.

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:22

Citation :
Bonjour,

Juste une remarque : avez-vous pensé au théorème d'Archimède ?


Je ne pense pas pouvoir appliquer le théorème d'Archimède directement vu que la pression dans le fluide dépend de r et de z. Mais je peux certainement l'appliquer pour trouver la résultante verticale de ma force de pression

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:26

vanoise @ 13-01-2021 à 15:02

Tu peux aussi décomposer ton étude en deux parties indépendantes :
1° influence de la variation de pression en fonction de z : la situation est simple : tu retombes sur la poussée d'Archimède.
2° influence de la variation de pression en fonction de la distance à l'axe de rotation. Tu peux alors travailler comme déjà dit en coordonnées sphériques. Il y a des simplifications compte tenu des symétries...


Si je choisis de décomposer l'étude en deux parties, je peux faire une première étude en disant que p(z)=-\rho gz +cste et la seconde en posant : p(r) = \frac{\rho \omega ^{2}r^{2}}{2} c'est bien ça ?

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:33

C'est "presque" ce que j'ai écris à 15h02 ;
Tu peux effectivement commencer par déterminer la force due à la variation de pression en fonction de z : il s'agit de la poussée d'Archimède verticale ascendante.
Tu peux ensuite étudier l'influence de la variation de pression en fonction de r. Une étude qualitative des symétries montre effectivement que cette force est horizontale.
Tu peux vérifier la formule fournie à 15h05. \vec{e_r} n'a manifestement pas la même signification dans le terme de gauche et dans celui de droite. Que désigne V ? Pas le volume car alors la formule ne serait pas homogène...

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 15:45

Citation :
Tu peux vérifier la formule fournie à 15h05. \vec{e_r} n'a manifestement pas la même signification dans le terme de gauche et dans celui de droite. Que désigne V ? Pas le volume car alors la formule ne serait pas homogène...


Dans la formule V semble bien être le volume de la balle de ping-pong et la formule telle qu'elle est dans l'exercice est sous cette forme :

\int_{balle}^{}{re_{r}} = VG_{r}e_{r}

avec G_{r} la coordonnée du centre de masse de la balle suivant e_{r}

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 16:07

Tu as un terme de gauche homogène à une distance et un terme de droite homogène à une distance élevée à la puissance 4 : impossible ! De plus la variable d'intégration n'est pas précisée... Je verrais bien quelque chose de la forme :

\usepackage{wasysym}\oiint\varoiint_{sph\grave{e}re}r^{2}.dS.\overrightarrow{e_{r}}=V_{sph\grave{e}re}.\overrightarrow{HO}

où O désigne le centre de la balle et H le projeté orthogonal du centre O sur l'axe de rotation du liquide. En admettant cette formule, il n'y a plus grand chose à faire ...
A vérifier...

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 17:42

Il s'agit de la formule du sujet que j'ai recopié, la personne qui a fait le sujet a peut-être fait une erreur. Mais merci pour votre aide en tout cas

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 18:06

J'ai une autre question car je viens de réaliser que j'aurais peut être pu calculer les résultantes plus facilement mais je ne suis pas sûr de ma formule.

\vec{F_{p}}=\int_{ballon}^{}{-\vec{grad}(p(r,z))dV}

Pouvez vous me dire si elle est correcte car dans mon cours les domaines d'intégration sont ambigus
Ce qui m'aurait peut être évité de voir intervenir R' dans mes résultats sachant qu'il n'était pas donné dans l'exercice initial.

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 18:09

Tu peux commencer par réfléchir sans faire de calcul. En raisonnant sur les symétries, tu peux montrer que la force de pression due à la rotation est colinéaire au vecteur \vec{HO}.
Quel est le sens de cette force ? En d'autres termes :  le fil qui empêche la balle de remonter sous l'action de la poussée d'Archimède est tendue verticalement quand le récipient ne tourne pas (situation de ton schéma) ; quand le récipient se met à tourner, la balle tend à se rapprocher ou à s'éloigner de l'axe de rotation ?

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 18:32

D'accord merci !

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 18:55

Je n'ai pas répondu à ton message de18h06. Le théorème du gradient ne va rien t'apporter de plus que l'expression générale de la pression que tu as fournie dans ton premier message où r désigne la distance à l'axe de rotation.
Pour déterminer la force due à la rotation du récipient, tu peux utiliser la relation de définition des forces pressantes :
\usepackage[wasysym\overrightarrow{F_{1}}=\oiint-\varoiint_{sph\grave{e}re}p_{1}.dS.\overrightarrow{e_{r}} avec : p_{1}=\frac{1}{2}\rho.\omega^{2}.r^{2}
en tenant compte de mon message de 16h07, le résultat est immédiat.

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 19:03

je réécris la formule :

\usepackage{wasysym}\overrightarrow{F_{1}}=- \oiint\varoiint_{sph\grave{e}re}p_{1}.dS.\overrightarrow{e_{r}}


@gts2 :

vanoise @ 13-01-2021 à 15:02

Tu peux aussi décomposer ton étude en deux parties indépendantes :
1° influence de la variation de pression en fonction de z : la situation est simple : tu retombes sur la poussée d'Archimède.
2° influence de la variation de pression en fonction de la distance à l'axe de rotation. Tu peux alors travailler comme déjà dit en coordonnées sphériques. Il y a des simplifications compte tenu des symétries...

Posté par
gts2
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 19:38

Bonjour,

@vanoise

Je pensais à Archimède pour les deux et dans ce cas après étude des symétries pour éliminer le terme variable, le résultat est immédiat sans calcul d'intégrale : -\rho V\left(\vec{g}-\omega^2\vec{HO}\right)

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 13-01-21 à 19:49

@gts2
Je n'ai pas réussi ( du moins pas encore) à faire raisonner VVictor33 sur les symétries et l'énoncé demande d'utiliser une formule qui très probablement est celle-ci :

 \\ \usepackage{wasysym}\oiint\varoiint_{sph\grave{e}re}r^{2}.dS.\overrightarrow{e_{r}}=V_{sph\grave{e}re}.\overrightarrow{HO}
 \\

En utilisant les notations définies dans les messages précédents, la force de pression due à la rotation serait centrifuge... Et moi qui cherchait justement à faire réfléchir VVictor33 sur le sens de cette force...

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 14-01-21 à 01:47

Bonsoir VVictor33
Si la méthode directe de calcul des forces pressantes te parait difficile, je peux te proposer une méthode plus simple mais il ne s'agit sûrement pas de celle attendue par le concepteur de ton énoncé. On imagine la balle de ping pong à son emplacement réel mais entièrement remplie d'eau. La surface de séparation entre l'eau extérieure à la balle et l'eau intérieure étant les mêmes dans les deux cas, le cas réel et ce cas fictif, la force pressante exercée par l'eau extérieure est la même dans les deux cas. Je note \vec F cette force pressante.
En revanche, la balle remplie d'eau est nécessairement en équilibre dans le référentiel du récipient. Cet équilibre existe sous l'action de trois forces :
*le poids de l'eau à l'intérieure de la sphère : \rho.V.\vec g
* la force pressante exercée par l'eau extérieure : \vec F
* la force d'inertie centrifuge exercée sur l'eau intérieure, force due à la rotation du récipient autour de son axe vertical : \vec{F_{ie}}
La résultante de ces trois forces est le vecteur nul. La force recherchée vaut donc :

\overrightarrow{F}=-\rho.V.\overrightarrow{g}-\overrightarrow{F_{ie}}

La composante de \overrightarrow{F} égale à -\rho.V.\overrightarrow{g} représente la poussée d'Archimède. L'autre composante : -\overrightarrow{F_{ie}} représente la composante horizontale déjà évoquée et notée \vec{F_1}}. Puisque la force d'inertie est centrifuge, la composante horizontale de la force de pression est radiale centripète :
\overrightarrow{F_{1}}=-\overrightarrow{F_{ie}}.

J'ignore ton avancée dans le programme ; si la notion de force d'inertie centrifuge t'est familière, cette méthode te paraîtra sans doute assez simple ; sinon : oublie ce message !

Posté par
VVictor33
re : Balle dans un récipient en rotation 17-01-21 à 11:22

Merci pour votre aide, j'ai finalement réussi à trouver le bon résultat !

Posté par
vanoise
re : Balle dans un récipient en rotation 17-01-21 à 11:35

Tant mieux !
Questions de réflexion complémentaires, si tu as le temps et si cela t'intéresse :
1° en supposant que la balle de ping pong soit reliée au fond du récipient pas un fil souple de masse négligeable, comment s'inclinerait le fil lors du mouvement de rotation ?
2° on remplace la balle de ping pong par une boule homogène en aluminium que l'on suspend au couvercle du récipient à la distance d de l'axe de rotation : comment s'inclinerait le fil lors du mouvement de rotation du récipient ?

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