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baignoire percée

Posté par
fabrice677
22-02-21 à 12:28

Bonjour, j'ai une question que je n'arrive pas à résoudre. Pourriez-vous m'aider je pattine depuis un certains temps

Voici l'énoncé et la question:
  On considère une baignoire de forme parallélépipédique dont la base est de dimension a×b que l'on remplit avec un débit constant noté d.On notez(t)la hauteur d'eau dans la baignoire à l'instant t et V(t)son volume.On suppose que V(0) = 0. La baignoire a une fissure au fond qui laisse s'échapper plus ou moins d'eau en fonction de la pression exercée par l'eau sur celle-ci. On rappelle que la pression au fond de la baignoire est égale à p(z) =ρgz (on ne compte pas la pression atmosphérique qui s'équilibre de part et d'autre de la fissure). Le débit de la fuite est df=αp avec α >0 une constante,et p la pression qui s'y exerce.

Si on suppose la baignoire suffisamment haute, montrer que le volume d'eau tend vers un volume à l'équilibre Veq que l'on déterminera.

J'essaye de trouver une expression de V(t) t.q quand t tends vers + l'infini V(t) = cst mais je n'y arrive pas.  Pour l'instant j'ai obtenue V(t) = d*t -αρgz(t)*t

Merci de votre réponse

Posté par
gts2
re : baignoire percée 22-02-21 à 12:43

Bonjour,

- L'étude de V(t) est inutile, on cherche uniquement le régime permanent.
- \int_0^t z(t) dt \neq z(t) \cdot t
- ce qu'il faut traduire c'est V=constante, qu'est-ce que cela implique ?
- pour montrer que le volume d'eau tend vers un volume, il n'est pas nécessaire d'écrire l'équation sur V(t), il faut simplement faire une étude de variation des différentes grandeurs : V,z, df.

Posté par
fabrice677
re : baignoire percée 23-02-21 à 22:29

Bonjour,

J'ai finis par trouvé en restant sur l'expression de V(t). Merci de votre réponse, ça m'a aidé

J'ai commencé par l'expression de V'(t):  V'(t)= d-g
                                         V'(t)=d-gV(t)/(ab)

On obtient alors une équation différentielle que l'on résout avec V(0)=0:

V(t)=d*a*b*(e(-**g*t/(a*b))+1)/**g

Et la limite quand t tends vers l'infinie (c'est donc le régime permanent si j'ai bien compris) est : (d*a*b)/(* *g

Bonne soirée

Posté par
fabrice677
re : baignoire percée 23-02-21 à 22:34

après relecture qu'il y ait pas mal de faute d'orthographe (il se fait tard) et V'(t)=g*z(t)

Posté par
fabrice677
re : baignoire percée 23-02-21 à 22:35

*(j'ai constaté qu'il y avait)

Posté par
fabrice677
re : baignoire percée 23-02-21 à 22:36

avec un s à faute (décidément...)

Posté par
gts2
re : baignoire percée 23-02-21 à 23:32

C'est correct, mais pour juste répondre à la question, il suffit de dire que si V=Cte, alors les deux débits se compensent et donc d= g z

Posté par
fabrice677
re : baignoire percée 24-02-21 à 09:27

je ne comprends pas, la question est de déterminé s'il existe un Veq pas de déduire les conséquences de l'existence de Veq non ?

Posté par
gts2
re : baignoire percée 24-02-21 à 11:14

Il y a deux questions, j'ai répondu à la deuxième :

"Veq que l'on déterminera"

Pour la première, le débit qui fait augmenter z est constant, alors que le débit qui fait diminuer z est d'autant plus important que z est grand et débute à 0. Donc z augmente jusqu'à égalité des débits.

Posté par
fabrice677
re : baignoire percée 24-02-21 à 14:05

Ah ok d'accord, j'ai compris! Merci : )

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