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Anneau glissant sur une tige inclinée en rotation
Voilà, je suis bloqué pour la première question, je ne vois pas la démarche à suivre.
un petit anneau, assimilé à un point matériel M de masse m, est susceptible de coulisser sans frottement le long d'une tige rectiligne faisant un angle 
avec l'axe (Oz) on pose OM= L
1. Pour quelle valeur Le de l'anneau est-il en équilibre sur la tige? Par un raisonnement qualitatif, déterminer si l'équilibre est stable ou instable.
Je pense qu'il faut se mettre dans le référentiel de la tige. et calculer ou utiliser les coordonnées polaires..
Cela serait fort sympathique de me montrer votre résolution.
Merci,
Antoine
Dans un référentiel lié à l'anneau :
L'anneau est à une distance d = OM.sin(alpha) de l'axe Oz
La force centrifuge sur l'anneau est horizontal, dirigé vers l'extérieur du cercle trajectoire de l'anneau et vaut : Fc = mw²d = mw².OM.sin(alpha)
Le poids de l'anneau est vertical vers le bas et vaut P = mg
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Si la somme des composantes de P et de Fc dans la direction de OM est nulle, alors l'anneau ne bougera pas par rapport à la tige OM. (la réaction N de la tige sur l'anneau est alors perpendicuilaire à la tige OM)
Composante de P dans la direction et de sens OM : C1 = - P * cos(alpha)
Composante de Fc dans la direction et de sens OM : C2 = Fc * sin(alpha)
C1 + C2 = Fc * sin(alpha) - P * cos(alpha)
C1 + C2 = mw².OM.sin(alpha) * sin(alpha) - mg * cos(alpha)
C1 + C2 = m.(w².OM.sin²(alpha) - g.cos(alpha))
Si C1 + C2 > 0, l'anneau "monte" sur la tige, il s'éloigne de O.
Si C1 + C2 < 0, l'anneau "descend" sur la tige, il se rapproche de O.
Si C1 + C2 = 0, l'anneau reste à distance constante de O.
L'anneau est en équilibre si C1 + C2 = 0, soit si: w².OM.sin²(alpha) - g.cos(alpha) = 0
Donc L = g.cos(alpha)/(w².sin²(alpha))
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Stabilité de l'équilibre :
C1 + C2 = m.(w².OM.sin²(alpha) - g.cos(alpha))
C1 + C2 = m.(w².L.sin²(alpha) - g.cos(alpha))
Si L augmente, C1+C2 augmente
Donc à partir de la position d'équilibre, si L augmente, C1+C2 devient > 0 et l'anneau "monte" sur la tige, il s'éloigne de O.
Ce qui augmente L encore plus fort et donc ...
Si L diminue, C1+C2 diminue.
Donc à partir de la position d'équilibre, si L diminue, C1+C2 devient < 0 et l'anneau "descend" sur la tige, il se rapproche de O.
Ce qui diminue L encore plus fort et donc ...
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Sauf distraction. Vérifie. 
Bonjour,
Vous avez plusieurs façon de traiter ce problème, en effet vous pouvez vous servir d'une loi de composition des accélération (car si j'ai bien compris le sujet, ce système se trouve dans un référentiel non galiléen si l'on prends comme référentiel ).
Sinon vous pouvez vous servir du théorème du moment cinétique. (cf : 2.2 sur http://coursdephysique.decout.org/cours_de_physique_PDF/mecanique_referentiel_non_galileen.pdf)
Cordialement,
Benjamin
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