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Analyse vectorielle : de la dérivée à la dérivée partielle
Bonjour,
Etudiant en MP, je planche sur les ondes électromagnétiques dans les plasmas.
Dans ce chapitre, alors que nous étudions les perturbations des plasmas, une formule nous est donnée telle quelle (sans démonstration, c'est apparemment le programme qui veut ça) :
Je pensais que lorsqu'une fonction dépendait de plusieurs variable (le temps et l'espace par exemple), une dérivée partielle correspondait à la dérivée par rapport à une variable, en ayant fixée l'autre... Mais dans ce cas là je ne vois pas à quoi correspond la notion de dérivée totale par rapport au temps d'une fonction dépendant également de l'espace.
Ma vision des choses est probablement grossière.
Quelle est donc la signification de ?
En quoi diffère-t-il physiquement de la dérivée partielle.
Merci par avance.
Bonsoir
Je trouve la seconde expression plus "parlante" sur le plan physique, sous réserve bien sûr de bien dominer les notions de gradient et de rotationnel. Il s'agit de l'expression de l'accélération d'une particule fluide en mécanique des fluides. Je prends quelques exemples.
Imagine un jet d'eau dans un jardin public . A priori la vitesse d'une goutte d'eau dépend à la fois du temps et de la position de la goutte dans l'espace. C'est cette double dépendance que prend en compte la formule de l'accélération.
Imagine d'abord que l'eau sort du jet avec un débit et une vitesse de sortie constante. En un point donné du jet, la vitesse est toujours la même : la dérivée partielle de la vitesse est donc nulle. Peut-on dire pour autant que l'accélération des gouttes d'eau est nulle ? Evidemment non puisque la vitesse n'est pas la même suivant la position de la goutte dans le jet. Cette accélération est celle donnée par le gradient et le rotationnel.
Suppose maintenant que, pour faire plus joli, la vitesse de sortie de l'eau varie périodiquement, l'accélération en un point donné du jet dépendra maintenant du temps : la dérivée partielle de la vitesse par rapport au temps ne sera plus nulle...
La mécanique des fluides n'est pas la partie de la physique la plus simple. Essaie de réfléchir à ce que je viens d'écrire et pose d'autres questions si nécessaire...
Bonjour,
Ta réponse est très claire et je t'en remercie.
L'exemple est particulièrement parlant et m'a permis de comprendre l'origine de la formule.
Dis moi si j'ai compris :
En grossissant le trait, dans cet exemple précis, quand on fait une dérivée partielle, on l'applique à où
est fixé, tandis que la dérivée totale s'appliquera plutôt à
?
Même si mon affirmation est approximative, je pense avoir compris
Merci beaucoup 
Je crois que tu as effectivement compris l'essentiel. Ton exemple unidimensionnel peut s'appliquer, avec l'axe (Ox) vertical, à un filet d'eau qui coule d'un robinet entrouvert.
A débit constant, la dérivée partielle de v par rapport au temps est nulle mais l'accélération des gouttes d'eau n'est pas nulle, elle est même, en première approximation, égale à g : cela correspond au gradient de la formule que je t'ai fournie.
Imagine qu'un système adéquat fasse varier la vitesse de sortie de l'eau du robinet : la dérivée partielle de v par rapport au temps ne serait plus nulle.
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