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[Analyse vectorielle] : Ampère-Stokes et Green-Ostrogradsky

Posté par
Skops 17-09-09 à 15:00

Bonjour,

Théorème d'Ampère-Stokes :

$5$\fbox{C=\int_{\scr{c}}\vec{dr}.\vec{A}(\vec{r})=\int\int_{\scr{S(C)}}d^2\vec{s}.(\vec{\nabla}\times\vec{A}(\vec{r})}$

Soit le champ vectoriel $4$\vec{A}=(-y,x,0)$
Vérifier le théorème d'Ampère Stokes sur le cercle trigonométrique.

Le premier donne facilement : $4$2R^2\pi$

Je suis resté en coordonnées cartésiennes pour le deuxième et je trouve que $4$(\vec{\nabla}\times\vec{A}(\vec{r})=(0,0,2)$

Le problème est sur le $4$d^2\vec{s}$ encore et toujours...
Normalement, on a ds=dxdy en cartésien mais ici, puisque j'ai un cercle, je peux mettre $4$ds=2\pi Rdr$ ? (orienté selon Uz)

Si oui, je retombe sur la même chose que le premier

Est ce juste ?

Skops

Posté par re : [Analyse vectorielle] : Ampère-Stokes et Green-Ostrogradsky 17-09-09 à 15:38

Ce théorème établit le lien entre le flux du rotationnel d'un champ de vecteurs à travers une surface $S$ et la circulation de ce même champ sur le contour $\partial S$ de $S$ .

Il n'est pas utile d'exprimer ${\rm d}\vec{S}$ sous une forme explicite.

Considère le disque délimité par le contour $\scr{C}$ .

${\rm d}\vec{S}$ est un vecteur normal à la surface considérée : ${\rm d}\vec{S}={\rm d}S \vec{u}_z$ .

De ton calcul du vecteur rotationnel, il résulte que c'est aussi le cas de ce dernier.

On a donc:

$\Bigint\Bigint \left(\vec{\nabla}\times \vec{A}\right).{\rm d}\vec{S}=2\Bigint\Bigint {\rm d}{S}$

Et par définition, on a bien sûr :

$\Bigint\Bigint {\rm d}{S}=S=\pi R^2$

indépendamment du système de coordonnées choisi.

Ce genre de considérations pratique autorisent souvent des simplifications appréciables et on en abuse dans certains problèmes de physique (électromagnétisme notamment).

Posté par re : [Analyse vectorielle] : Ampère-Stokes et Green-Ostrogradsky 17-09-09 à 16:07

Si le résultat du rotationel n'aurait pas été 2 mais r par exemple, j'aurais bien été obligé d'intégrer en fonction de dr non ?

Skops

Posté par re : [Analyse vectorielle] : Ampère-Stokes et Green-Ostrogradsky 17-09-09 à 16:17

Pour Ostrogradsky par exemple je me retrouve à calculer l'intégrale double de ds.A avec A=rUr
Donc ca revient à calculer l'intégrale double de 2pirdr et je n'ai qu'une seule variable..

Skops

Posté par re : [Analyse vectorielle] : Ampère-Stokes et Green-Ostrogradsky 17-09-09 à 16:18

L'intégrale double de 2pir²dr plutôt

Skops

Posté par re : [Analyse vectorielle] : Ampère-Stokes et Green-Ostrogradsky 17-09-09 à 16:27

J'arrive bien à retrouver les mêmes valeurs pour Green Ostrogradsky

Question :

- Quand j'exprime ds et dv, je n'obtiens qu'une variable donc est ce que je peux passer à une intégrale simple ? (ca sent le physicien là )

Skops

Posté par re : [Analyse vectorielle] : Ampère-Stokes et Green-Ostrogradsky 17-09-09 à 17:20

${\rm d}S$ et ${\rm d}V$ correspondent à un élément de surface et un élément de volume respectivement.

On ne peux pas exprimer l'un ou l'autre en ne faisant intervenir qu'une variable.

Qu'il s'agisse d'Ampère-Stokes (contour<=>surface) ou de Green-Ostrogradsky (surface<=>volume), on opère un changement de dimension.

Le fait d'intégrer la divergence sur tout le volume contenu dans une surface fermée par exemple (Green-Ostrogradsky) implique le recours à 3 variables pour décrire ce volume:

${\rm d}V={\rm d}x {\rm d}y {\rm d}z=r^2 \sin\phi {\rm d}r{\rm d}\theta{\rm d}\phi$

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