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Analyse dimensionnelle période pendule/satellite

Posté par
Rimkus
20-09-17 à 18:47

Bonjour me revoilà (malheureusement je ne comprend rien à l'analyse dimensionnelle) avec cette exercice. Je ne connais qu'une formule de la période c'est  : T=2pi fois racine de l sur g.l'analyse dimensionnelle de cette période vaut T^-1 mais apparemment ce n'est pas ça ...

Exercice : Analyse dimensionnelle
1) Un pendule simple est un fil sans masse, de longueur l au bout duquel est attache un objet ponctuelle de masse m. Soit Tp la période d'oscillation d'un tel pendule.
Tp peut dépendre, à priori, de paramètres g (la constante de pesanteur), l, m et θ, l'angle maximum de déviation par rapport a la verticale. Galilée est le premier à s'être rendu compte que la période Tp ne dépend, en fait, que très faiblement de θ quand θ est petit.
- Par une analyse dimensionnelle, établir l'expression de la période Tp du pendule quand θ est petit.
2) La période T0 d'un satellite terrestre circulaire peut dépendre, a priori, de m la masse de la Terre, du rayon R du cercle décrit et de la constante de la gravitation universelle G. On peut faire l'hypothèse que la période T° a pour expression : T0 = K ma Rb Gc ou K est une constante sans dimension.
- Déterminer, par une analyse dimensionnelle, les valeurs de a, b et c sachant que la dimension
d'une force est [F] = M.L.T-2. En déduire l'expression de la formule de la période T0.

Posté par
gbm Webmaster
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 20-09-17 à 19:57

Bonsoir,

Tu as pu voir en terminale les expressions des deux périodes.

Tu peux donc démarrer sur cette base, en rappelant les dimensions de chaque paramètre physique en jeu.

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 20-09-17 à 20:02

Bonsoir et merci de m'avoir répondu

Juste la première question c'est tout simplement ça qu'il faut faire pour la période du pendule ? Même chose pour la seconde ?

Posté par
gbm Webmaster
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 20-09-17 à 20:27

On te demande de retrouver une formule connue de terminale grâce à une analyse dimensionnelle.

[g] =
[l] =

etc.

Etant donné que [Tp] = T

on a ...

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 20-09-17 à 20:38

Je l'ai fait je trouve T ce qui est propre à une période

Posté par
gbm Webmaster
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 20-09-17 à 20:46

Première approche rapide :
[g] = L/T²
[l] = L

donc [l]/[g] = L/(L/T²) = T²

finalement ([l]/[g])= T

ce qui est homogène à un temps.

Donc Tp = k*(l/g) avec k = 1 ou 1.

Avec cette analyse, tu ne sais pas ce que vaut k.

Voici une autre méthode d'analyse avec un système d'équation si tu préfères :



Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 20-09-17 à 22:26

D'accord merci beaucoup gbm

Posté par
odbugt1
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 00:18

Voici une autre manière d'opérer:

Tp dépend à priori de g, l, et m.

J'écris donc que : Tp =K (g lm)
K est une constante adimensionnelle, , , sont des exposants à déterminer.

On a :
[Tp] = T
[g] = LT-2
[l] = L
[m] = M

Ce qui donne : T = (LT-2)  L  M
T = L(+) T(-2)M
Par identification :
+=0
-2=1
=0

Soit = -1/2  ,   = 1/2  , = 0

On revient à l'expression intiale :
Tp = K( g l m ) qui devient :
Tp = K (g-1/2 l1/2 )

La période est proportionelle à (l/g)

Posté par
odbugt1
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 08:35

Bonjour,

Pas très malin de ma part !
Je n'ai pas ouvert, hier soir, le lien proposé par gbm ( que je salue ).
Mon post fait double emploi avec le contenu de ce lien.

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 08:42

Merci odtbugt1

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 09:20

j'ai fait la période d'un satellite terrestre pouvez vous me montrez ce que ça donne odtbugt1 ?
Merci d'avance

Posté par
odbugt1
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 10:45

Bonjour,

Citation :
On peut faire l'hypothèse que la période T° a pour expression : T0 = K ma Rb Gc ou K est une constante sans dimension.


Je suppose qu'il s'agit de T0 = K ma Rb Gc

Rimkus, tu inverses les rôles.
C'est à toi d'exposer en premier ce que tu as fait et non l'inverse.

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 12:07

Oui désolé odtbugt1
Quand je l'aurais fait je le publierai

Merci pour ton aide

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 17:29

voilà j'arrive à cette équation et je suis bloquer

To= M^-1/2 . L^-3/2 . T

Ce qui n'est pas propre à un temps ...

Je suis bloquer

Posté par
odbugt1
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 18:10

Donc on fait l'hypothèse qye T0 = K ma Rb Gc
K n'a pas de dimension.

Commence par établir :
[T0] = ?
[m] = ?
[R] = ?
[G] = ?

et poste ces quatre dimensions.

Posté par
odbugt1
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 18:15

Ou bien, si tu as déjà fait ce travail et calculé les valeurs de a,b,c indique les :

a= ?
b= ?
c = ?

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 18:16

Bonjour merci d'avoir répondu


[T0] = T
[m] = M
[R] = L
[G] =  M^ -1·L^ 3·T

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 18:19

a=0
b= 0
c = -1/2

Posté par
odbugt1
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 18:47

Rimkus @ 21-09-2017 à 18:16

Bonjour merci d'avoir répondu


[T0] = T OK
[m] = M  OK
[R] = L OK
[G] =  M^ -1·L^ 3·T Non
[G] =  M-1  L3  T-2


La dimension de G est à revoir.
On l'obtient (par exemple) à partir de la loi de gravitation universelle.

Du coup les valeurs de a,b, c sont à revoir aussi.

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 19:05

Ah oui merci


Du  coup on obtient :

[T0] = M^a . L^b . (M^-1.L^3.T^-2)^c
[T0] = M^a . L^b .M^-c. L^3c . T^-2c
Donc identification

a=0
b=0
c=-1/2

Posté par
odbugt1
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 19:30

Citation :
Du  coup on obtient :

[T0] = M^a . L^b . (M^-1.L^3.T^-2)^c
[T0] = M^a . L^b .M^-c. L^3c . T^-2c
donc
T = M(a-c)  L(b+3c) T-2c


Identification :
a-c = 0
b+3c = 0
1 = -2c

Ce qui donne :
a = -1/2
b= 3/2
c = -1/2

d'ou T0 = K * m-1/2 * R3/2 * G-1/2

En d'autres termes : T_0 =  K \sqrt{ \dfrac{R^3}{Gm} } ce qui est conforme à la 3e loi de Képler

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 19:36

Merci de m'avoir aiguiller je vais le refaire et vous dire si j'ai réussi

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 19:57

Pour le à il ya une erreur non ? Car sa donne 1/2 et non -1/2

Posté par
odbugt1
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 21-09-17 à 20:42

Les équations sont :
a-c = 0 (éq 1)
b+3c = 0 (éq 2)
1 = -2c (éq 3)

L'équation (3) donne c =-1/2

L'équation (1) donne a = c
donc a = -1/2

L'équation (2) donne b=-3c
donc b = 3/2

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 22-09-17 à 21:33

Merci beaucoup j'ai tout compris et réussi

Posté par
gbm Webmaster
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 23-09-17 à 10:15

Parfait, un gros sujet désormais maîtrisé

Posté par
Rimkus
re : Analyse dimensionnelle période pendule/satellite 23-09-17 à 12:20

Oui merci à vous tous heureusement que vous êtes la ?



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