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Analyse des circuits_exo 1

Posté par
LoveYourLove 25-06-18 à 14:08

Bonjour tout le monde,

Je suis tellement heureux de refaire surface apres tant d'annees. J'utilisai le forum frequemment lorsque j'etais en terminale, et je garde un bon souvenir. Merci a tous pour l'aide.

J'ai une serie d'exercices sur l'analyse des circuits que je tente en vain de resoudre. Votre aide est la bienvenue. (Je compte mettre a jour le post si je trouve une probable solution).

Voici une des exercices:

Dans le circuit de la figure ci-dessous, on procede a une modification de l'impedance $\overline{Z_1} = 3 + j \cdot 4\,\Omega$ qui devient $\overline{Z_2} = 5 + 5j$ , c'est-a-dire $\Delta\overline{Z} = Z_2 - Z_1 = 2 + j\Omega$ .

Determiner la variation du courant en utilisant une methode classique et verifier le resultat.

Merci d'avance!

Analyse des circuits_exo 1

Posté par re : Analyse des circuits_exo 1 25-06-18 à 15:38

Bonjour
Connais-tu la signification physique du module d'une impédance complexe et la signification de son argument ?
Si oui, tu devrais t'en sortir ; si non : tu peux consulter le rappel de cours ici :

Je te laisse réfléchir et proposer une solution.

Posté par re : Analyse des circuits_exo 1 26-06-18 à 12:13

Merci vanoise pour le lien et le message. Voici ce que je pus faire avec des serieux problemes vers la fin:

$\\ $$ \\ \begin{array}{rl} \\ \overline{Z}_1 = 3 + j\,4\,\Omega & \Rightarrow \mid \overline{Z}_1\mid = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\omega\\ \\ \overline{Z}_2 = 5 + j\,5\,\Omega & \Rightarrow \mid \overline{Z}_2\mid = \sqrt{5^2 + 5^2} = 7,07\,\omega\\ \\ \overline{\Delta Z} = 2 + j\,\Omega & \Rightarrow \mid \overline{\Delta Z}\mid = \sqrt{2^2 + 1^2} = 2,24\,\omega\\ \\ \\ \\ \overline{Z}_1 = 3 + j\,4\,\Omega & \Rightarrow \mid \overline{Z}_1\mid = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\omega\\ \\ \overline{Z}_2 = 5 + j\,5\,\Omega & \Rightarrow \mid \overline{Z}_2\mid = \sqrt{5^2 + 5^2} = 7,07\,\omega\\ \\ \overline{\Delta Z} = 2 + j\,\Omega & \Rightarrow \mid \overline{\Delta Z}\mid = \sqrt{2^2 + 1^2} = 2,24\,\omega\\ \\ \\ \\ \tan \varphi_1 = \frac{4}{3} = 1,3 & \Rightarrow \varphi_1 = 53,1^o\\ \\ \tan \varphi_2 = \frac{5}{5} = 1 & \Rightarrow \varphi_2 = 45\degree^o\\ \\ \tan \Delta\varphi = \frac{1}{2} = 0,5 & \Rightarrow \Delta\varphi = 26,6^o\\ \\ \\ \\ I_1 = \frac{U}{Z_1} &{}= \frac{50\, 0^o}{5 \:| 53,1^o}\\ \\ &{}= 10 \:| -53,1^o A\\ \\ I_2 = \frac{U}{Z_2} &{}= \frac{50\:| 0^o}{7,07 \:| 45^o}\\ \\ &{}= 7,1 \:| -45^o A\\ \\ \Delta I = \frac{U}{\Delta Z} &{}= \frac{50\:| 0^o}{2,24 \:| 26,6,1^o}\\ \\ &{}= 22,3 \:| -26,6^o A\\ \\ \\ \\ \text{V\'erification: } \Delta I &\stackrel{?}{=} I_2 - I_1\\ \\ 22,3 \:| 26,6^o A &\stackrel{=}{?} (7,1 - 10) \:| -45^o - (-53,1)^o\,A\\ \\ 22,3 \:| 26,6^o A &\stackrel{?}{=} 2,9 \:| 8,1^o\,A\\ \\ \end{array} \\ $$ \\$

Posté par re : Analyse des circuits_exo 1 26-06-18 à 14:20

Remarque préliminaire : que signifie la lettre minuscule oméga () habituellement réservée à la pulsation ? Tu ne confondrais pas par hasard avec le symbole () pour l'ohm ?
Sinon : tes calculs des phases initiales et des valeurs efficaces des deux intensités sont correctes ; cela te permet d'obtenir les variations correctes d'intensités efficaces et de phases initiales.
En revanche, ton calcul direct de I et de à partir de Z est totalement faux. Le complexe associé à I est :

$\overline{\Delta I}=\overline{I_{2}}-\overline{I_{1}}=\overline{U}.\left(\frac{1}{\overline{Z_{2}}}-\frac{1}{\overline{Z_{1}}}\right)$
Une fois ce calcul fait, tu n'es pas au bout de tes peines car le module d'une différence de deux complexes n'est pas égal à la différences des deux modules ; le module du complexe précédent n'est pas égal à la différence des deux intensités efficaces ! On peut s'en sortir mais le calcul est relativement fastidieux, plus compliqué que celui déjà fait !

Posté par re : Analyse des circuits_exo 1 28-06-18 à 14:41

Mille excuses pour le symbole $\omega$ , c'est une erreur de frappe. Une fois que j'avais finis a ecrire ma reponse, j'ai eu un probleme avec le rendu de mon post: le code $\LaTeX$ refusait de s'afficher. Rechercher a trouver la source de l'erreur m'a pris beaucoup du temps que l'exercice lui meme.

Reacapitulons: Tout est bon sauf pour les calculs de $\Delta I$ et $\varphi$ .

$\mid \overline{A} - \overline{B} \mid \neq \mid \overline{A} \mid - \mid \overline{B} \mid$

Voici ma correction:

$U = 50\: |0\deg \Rightarrow \overline{U} = 32 + j38\, V$

$\Delta I = \overline{U} \times \overline{\Delta Y} \\$

Calcul de la variation de l'admittance:
(en reecrivant mes calculs, j'ai trouve une erreur de signe que j'ai corrige)
$\\ \begin{array}{rl} \\ \Delta Y &{} = \frac{1}{\overline{Z}_1} - \frac{1}{\overline{Z}_2}\\ \\ &{}= \frac{1}{5 + j5} - \frac{1}{2 + j}\\ \\ &{}= \frac{2 + j - 5 - j5}{10 + 5j + 10j -5}\\ \\ &{}= \frac{-3 - 4j}{5 + 15j}\\ \\ &{}= \frac{(-3 - 4j) \cdot (5 - 15j}{25 - 225}\\ \\ \Delta Y &{}= \frac{-75 + 25j}{-200} = - 0,375 + 0,125j \\ \end{array} \\$

Calcul du courant de variation $\Delta I$ :
$\\ \begin{array}{r@{}l} \\ \Delta I &{}= \overline{U} \times \overline{\Delta Y}\\ \\ &{}= (32 + j38) \cdot (- 0,375 + j0,125)\\ \\ &{}= -12 + j4 - j14,25 - 4,75\\ \\ &{}= 16,75 - j10,25 A \\ \end{array} \\$

Ai-je encore peche quelque part?

Posté par re : Analyse des circuits_exo 1 28-06-18 à 15:51

Bonjour

Ton calcul de $\overline{\Delta I}=\overline{I_{2}}-\overline{I_{1}}=\overline{U}.\left(\frac{1}{\overline{Z_{2}}}-\frac{1}{\overline{Z_{1}}}\right)$ est correct mais, comme tu l'as remarqué, il ne conduit à rien d'immédiat dans la mesure où, comme tu l'as remarqué :

$|\overline{I_{2}}-\overline{I_{1}}|\neq|\overline{I_{2}}|-|\overline{I_{1}}|$ . De même : $\arg\left(\overline{I_{2}}-\overline{I_{1}}\right)\neq\arg\left(\overline{I_{2}}\right)-\arg\left(\overline{I_{1}}\right).$

Je ne vois pas plus simple que de poser :

$I_{2}-I_{1}=\frac{U}{|\overline{Z_{2}}|}-\frac{U}{|\overline{Z_{1}}|}$

$Phase\left(I_{2}\right)-Phase\left(I_{1}\right)=\arg\left(\overline{Z_{1}}\right)-\arg\left(\overline{Z_{2}}\right)$

mais cela revient pratiquement à effectuer les calculs déjà faits pour obtenir la valeur efficace et la phase de chacune des deux intensités.

Posté par re : Analyse des circuits_exo 1 29-06-18 à 14:29

Ok. Je crois avoir compris la logique, merci, surtout pour le lien. Je suspecte que mon probleme venait de l'ecriture complexe. Voici la version finale de mon raisonnement:

Des bons calculs qui precedent, nous avons ce qui suivent:
$\\ \begin{array}{rl} \\ \underline{Z}_1 = 3 + j4\,\Omega & \Rightarrow Z_1 = 5\Omega \text{ et } \varphi_1 = 53,1\,\Omega\\ \\ \underline{Z}_2 = 5 + j5\,\Omega & \Rightarrow Z_2 = 7,07\Omega \text{ et } \varphi_2 = 45\Omega\\ \\ \\ \\ I_1 = \frac{\underline{U}}{\underline{Z}_1} = \frac{50\ | 0\deg}{5\ | 53,1\deg} &{}= 10\ | -53,1\deg = 10 (\cos \varphi_1 - j\sin \varphi_1) = 6 - j8\,A\\ \\ I_2 = \frac{\underline{U}}{\underline{Z}_2} &{}= 7,1\ |-45\deg = 7,1 (\cos \varphi_2 - j\sin \varphi_2) = 5 - j5\,A\\ \\ \\ \\ \text{Donc, } \Delta = I_2 - I_1 &{}= (5 - j5) - (6 - j8) = -1 + j3\,A \\ \end{array} \\$

Je l'ai eu?

Posté par re : Analyse des circuits_exo 1 29-06-18 à 16:07

Je veux bien que tu calcules le complexe associé à (I₂-I₁) mais, comme expliqué dans mon précédent message, la connaissance de ce complexe ne fournit aucun renseignement simple sur la différence entre les deux intensités.

$\overline{I_{2}}-\overline{I_{1}}=\frac{\overline{U}}{\overline{Z_{2}}}-\frac{\overline{U}}{\overline{Z_{1}}}=\frac{50}{5\left(1+j\right)}-\frac{50}{3+4j}$

Je simplifie en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

$\overline{I_{2}}-\overline{I_{1}}=\frac{10\left(1-j\right)}{1+1}-\frac{50\left(3-4j\right)}{9+16}-=5-5j-2\left(3-4j\right)=-1+3j\quad\left(A\right)$

Cela donne bien ton résultat. Relis bien mon message précédent du 28-06-18 à 15:51 : ce calcul ne fournit aucun renseignement simple...

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