On considère un disque homogène plein et mince (𝒮0) de centre 𝑂, de rayon 𝑎 et de masse totale 𝑚. On
évide ce disque d'une partie circulaire (𝒮1) centrée en 𝑂′
et tangente à a son bord de rayon 𝑎/2.
Le système (𝒮) ainsi formé; 𝒮 = 𝒮0 ∖ 𝒮1 , est suspendu dans le champ de gravitation comme le montre
la figure suivante :
1. Montrer que la masse du disque perforé (𝒮) est égale à 3𝑚/4 et justifier (brièvement) que le centre
d'inertie 𝐺 de (𝒮) au repos occupe une position 𝐺0 située sur l'axe vertical.
2. Montrer que 𝑃 𝐺 = 7𝑎6 .
3.
a) Déterminer le moment d'inertie de (𝒮0), supposé en place, par rapport à l'axe Δ = supp(𝑃; ⃗𝑢)
passant par 𝑃 et perpendiculaire au support (plan) de (𝒮0).
On vérifiera d'abord ou on admettra que le moment d'inertie de 𝒮0 par rapport à l'axe Δ𝑂 =
supp(𝑂; ⃗𝑢) passant par 𝑂 et perpendiculaire au support (plan) de (𝒮0) est
𝑚𝑎
2
2
.
b) Déterminer le moment d'inertie de (𝒮1); supposé en place, par rapport à l'axe Δ.
c) En déduire que le moment d'inertie 𝐽 du disque perforé (𝒮) par rapport à Δ est 𝐽 =
45
𝑚
32
𝑎2 .
4. En désignant par 𝜃 l'angle (
−−→
𝑃 𝐺
\
0,
−−→
𝑃 𝐺), déterminer l'énergie cinétique 𝐸𝑐 et l'énergie potentielle 𝐸𝑝
du disque perforé dans son mouvement de rotation par rapport à l'axe Δ = (𝑃; ⃗𝑢) et dans le plan
perpendiculaire à cet axe.
L'on pourra considérer le plan horizontal passant par le point 𝐺𝑜 de la verticale coincidant avec le
centre d'inertie du disque perforé au repos comme le niveau d'energie potentielle nulle.
5. Montrer que l'équation du mouvement s'écrit :
𝐽 ¨𝜃 + 3
4
𝑚𝑔 𝑃 𝐺0 sin𝜃 = 0,
et revient à
¨𝜃 +
28𝑔
45𝑎
sin𝜃 = 0.
6. En déduire la période des petites oscillations en fonction de 𝑎 et de la pesanteur 𝑔.
7. Le pendule pesant constitué par ce disque perforé peut-il être assimilé à un pendule simple de
longueur 𝑙 = 7𝑎/6 avec à son extrémité libre une masse ponctuelle égale à celle du disque perforé?
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