Bonjour
Il y a beaucoup de bon dans ce que tu écris mais il y a aussi une incohérence.
Si tu veux tenir compte de la variation de g en fonction de z, il faut utiliser l'expression de l'énergie potentielle en cohérence avec cette expression de g, pas celle utilisée dans  le secondaire, valide uniquement pour z très petit devant le rayon de la terre.

Quand j'ai fait le calcul DE/Dz, j'ai remplacé g par GM/(r+z)²
En comparant avec l'expression de l'énergie potentielle du premier exemple de la partie exemple:

J'ai une différence de signe pour mon énergie potentielle et je peux rajouter une constante mais qui s'annulera avec la dérivee mais du coup j'aurais quand même un facteur devant g dans l'équation du mouvement

Ah, sous la forme la plus explicite du premier message:
m*a + m*(r-z)*G*M/(r+z)³ =0
J'avais juste voulu faire re-apparaitre g

Je pose la distance de la masse ponctuelle au centre de la terre égale à :



De façon à pouvoir travailler en coordonnées sphériques.
La force de gravitation (ne pas confondre avec la force de pesanteur) exercée sur la masse m par la terre de masse M a pour expression (cf Newton) :



Il est possible d'associer à cette force une énergie potentielle gravitationnelle telle que :



Je passe la calcul ; en supposant l'énergie potentielle nulle à l'infinie :



En imaginant un mouvement rectiligne suivant un axe fixe passant par le centre de la terre, la conservation de l'énergie mécanique (absence de frottement) conduit à :



Si tu dérives cette expression par rapport à t, tu vas bien obtenir l'expression de l'accélération déduite de la deuxième loi de Newton :

Ah oui merci beaucoup, c'est plus clair.
C'est vrai qu'il faut partir de la relation entre la force et l'énergie potentielle pour avoir son expression ou se dire que le point d'origine est le centre de la Terre

Mais il y a quelque chose qui me semble bizarre.
Normalement l'équation de la trajectoire ne dépend pas du choix de la constante de l'energie potentielle et pourtant ici c'est le cas.

J'avais marqué:
Ep = m g z = m G M z / (R+z)²
Et l'expression issue de la force:
Ep = - m G M / (R+z) = -m g (R+z)

Et donc outre la différence de signe (je veux bien que l'on en discute, par convention l'energie potentielle nulle est à l'infinie de la source de potentiel mais pourquoi la formule du secondaire est mgz et pas -mgz ?)

Comment de fait-il que la constante ajoutée modifie l'équation de la trajectoire ?

Ou c'est une erreur de mon calcul:
Ep = mgz = mGMz/(R+z)²
Pour la dérivée j'utilise la formule suivante:
(u/v)'=u'v-uv'/v²
Avec: u=z ; u'=1
v=(r+z)² ; v' = 2(r+z)
dEp/dt=mGM {(r+z)² - 2z(r+z)}/(r+z)⁴
=mGM (r+z -2z )/(r+z)³ = m g (r-z)/(r+z)
Car g=GM/(r+z)²

Essaie d'oublier ce ”g” qui n'a pas de sens physique à partir du moment où on ne suppose pas z très petit devant R, le rayon de la terre. Je reprends mon message du 17-10-21 à 18:32 et je veux bien t'aider à passer de la conservation de l'énergie à l'expression de l'accélération. Il suffit d'avoir en tête le cours de math sur la dérivation de fonctions composées.





Puisque la vitesse n'est pas nulle au cours du mouvement, il est possible de diviser les termes par . Après simplification :



N'oublie pas qu'il s'agit d'étudier le mouvement le long d'un axe vertical ascendant passant par le centre de la terre et fixe dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

Dans mon dernier message il y a une coquille, je voulais marquer dEp/dz et pas dEp/dt

Avec cette expression de l'énergie potentielle, j'arrive à trouver l'équation de la trajectoire mais avec mon expression je trouve quelque chose de différent alors que je devrais trouver le même résultat, c'est cela qui m'intrigue.
Je trouve:
d²z/dt² = {GM/(R+z)²} * (z-R)/(R+z)

Je fais dE/dt=0= (DE/Dz)(dz/dt) + (DE/DV)(dv/dt)

Et c'est à cause du calcul DE/Dz que je trouve un résultat différent
Notamment avec Ep=-mMG/(R+z)
dEp/dz= mMG/(R+z)²

Et avec mon expression: Ep= mMG z/(R+z)²
dEp/dz= mMG (r-z)/(r+z)³

On a pas le même résultat du calcul de la dérivée dEp/dz

Alors mon expression de l'énergie potentielle est fausse ?
Avec le message du  17-10-21 à 16:25 "il faut utiliser l'expression de l'énergie potentielle en cohérence avec cette expression de g, pas celle utilisée dans  le secondaire, valide uniquement pour z très petit devant le rayon de la terre."
Je comprends pas cette citation, pourquoi la formule mgz serait valable que pour z<<R ?

Ah d'accord j'ai compris pourquoi en relisant le message de 18h32
Pour trouver Ep on utilise F = - gradEp avec dans un cas g=cst et l'autre g=g(z)
Merci

OK ! J'en profite pour signaler une petite erreur de signe dans mon message précédent. Dans la mesure où l'axe des z est orienté vers l'extérieur de la terre (vers le "haut") :