Bonsoir
une des méthodes possibles de découplage consiste à introduire la variable u=x+i.y

Tu multiplies ta seconde équation différentielle par "i" et tu additionne membre à membre avec la première.Tu vas obtenir une équation différentielle vérifiée par la seule inconnue "u".
Je vais vérifier ton travail d'ici ce soir.

J'imagine qu'il faut considérer les variations de longueurs des ressorts très petites devant R, sinon l'expression de la force élastique est nettement plus compliquée me semble-t-il...

C'est ce que j'ai fait(je me suis limité à l'ordre 1)

D'accord avec tes calculs dans ces conditions.La méthode d'utilisation de la variable complexe u est ainsi une bonne méthode pour passer de tes deux équations différentielles couplées à une équation différentielle du deuxième ordre très classique.
rem1 : puisque, par hypothèse, M reste proche du centre O du cercle, la force de rappel élastique est nettement plus force que la force centrifuge : 2k>m² . On peut poser :



Les équations différentielles couplées s'écrivent ainsi plus simplement :



rem2 : ce problème présente une analogie forte avec l'étude du pendule de Foucault...

Voici une simulation de la trajectoire avec pour conditions initiales :
xo=1cm
yo=0
vitesse initiale nulle
=10rad/s
=1rad/s
N'hésite pas à poser des questions complémentaires si tu le juges utile. Si j'ai le temps, je posterai une simulation du mouvement si cela est accepté par le forum.

Merci beaucoup!

Si cela peut aider à mieux comprendre : voici une animation au format mp4 du mouvement de M. Pour obtenir un fichier léger, je me suis limité aux deux premiers "aller-retour". Cela me semble suffisant pour bien visualiser comment le point M se déplace.