Bonsoir,
Je ne sais pas si cela t'aidera mais voici tout de même une suggestion : essaye de raisonner sur l'énergie plutôt que la puissance : la valeur efficace d'une tension variable u(t), fonction périodique du temps de période T, est la valeur U d'une tension continue qui, appliquée aux bornes d'un même conducteur ohmique de résistance R, produit, par période, la même énergie par effet Joule.
En régime continu, l'énergie libérée par effet Joule pendant une durée T vaut :
.
En régime variable, la puissance instantanée vaut :
;
En régime variable, l'énergie libérée par effet Joule pendant une période T vaut :
.
Par définition de la valeur efficace :
W₁=W₂
Après simplification, on arrive bien au résultat classique :

Merci pour ta reponse Vanoise.
J'essaie de le voir energitiquement comme tu conseilles mais cela ne m'aide pas beaucoup. Une question me démange cependant. Lorsqu'on travaille sur un systeme (ex:moteur) pourquoi utilise t on la valeur efficace et non la puissance moyenne par exemple pour la puissance ? C'est l'importance de la valeur efficace sur la valeur moyenne qui me gene. Par exemple pour la force électromotrice e(t) on choisit la valeur efficace E et non la valeur moyenne. Pourtant la valeur moyenne meme si ca n'a rien a voir, ca importe, par exemple, pendant 2h de fonctionnement du moteur sur les 6h l'arbre moteur tourne a 17 tr/s puis les 4h restants 34tr/s. La vitesse de l'arbre moteur sur les 6h de fonctionnement sera alors une vitesse moyenne etc... Pourquoi le choix de la valeur efficace ? Est ce juste un moyen de passer du regime variable au continu ?

Restons d'abord sur le cas simple des appareils de chauffage électrique (radiateur, fer à repasser...). Si l'appareil est branché sous une tension sinusoïdale de valeur efficace U = 230V, il chauffe exactement comme si il était branché sous une tension continue de 230V. L'appareil branché sous tension sinusoïdale, est aussi "efficace" que s'il était branché sous une tension continue de valeur U. La notion de valeur efficace a été inventée pour comparer l'efficacité d'une tension périodique à l'efficacité d'une tension continue mais attention : la comparaison n'est rigoureuse que pour les appareils électriques équivalent à un conducteur ohmique ; pour les autres, les moteurs par exemple, la situation se complique un peu avec l'influence du facteur de puissance.

Il ne faut pas confondre la tension instantanée et la tension efficace.

Supposons une tension périodique dans le temps (que ce soit un sinus, un triangle répétitif ou autre chose).

Si on applique cette tension à une résistance R, il est possible de calculer l'énergie fournie à la résistance sur une période de la tension périodique.
Cela se calcule par , soit par exemple E cette énergie.

On peut alors calculer la valeur de la tension continue constante qui appliquée à la même résistance R pendant la même durée (donc ici sur T) fournirait à la résistance l'énergie E calculée ci-dessus. Soit U cette tension continue constante.
On aura donc E = U²/R

On dira que la tension périodique ci dessus à U pour valeur efficace.

Cela signifie que pour toutes les durées multiples du temps T (période du signal périodique), la résistance aura reçu la même énergie (et donc aura le même échauffement) que si la résistance avait été soumise (pendant la même durée) à la tension continue constante U calculée comme expliqué avant.
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Pour la valeur moyenne d'une tension (ou d'un courant ou ...)

Là, il y a un piège car il y a 2 définitions bien différentes qui coexistent.

Si on prend la moyenne sur une période (comme certains le font), toutes les tensions alternatives (donc périodique mais équilibrée autour de 0) ont une valeur nulle ... et donc n'apportent aucune "indication" intéressante.

Il y a donc une autre "définition" de la tension moyenne qui est aussi utilisée, on fait la moyenne sur une alternance  (et pas sur une période). Cela amène alors des indications intéressantes notamment dans une multitude d'applications avec certains types de moteurs sensibles à cette valeur moyenne.

Et donc plus que méfiance quand on parle de "valeur moyenne" d'une tension (ou d'un courant ou ...).
Beaucoup, comme d'habitude étant persuadés (à tort) qu'il n'existe qu'une seule définition de la valeur moyenne ... et qui est bien entendu celle qu'ils ont apprise.

Effectivement la valeur moyenne d'une tension ne sera pas considéré comme "intéressante" car sur une periode elle est nulle. Donc on privilégie une valeur que la valeur moyenne. Cependant je m'interroge sur le domaine d'application de la valeur efficace. Est ce seulement sur un dipole purement resistif ou bien aussi un systeme plus complexe tel un moteur ? Dans ce dernier cas, sur quelles grandeurs travaille ton la plupart du temps ?
Merci a vous pour votre reponse.

J'ai bien précisé dans mon message précédent :