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Transformateur et co

Posté par
philou28 19-06-16 à 17:40

bonjour

je bloque sur ce problème :

Un transformateur parfait :
Primaire : N1 spire  et    L1=N12L0
Il est relié à un générateure de fem e et de résistance interne r

Secondaire : N2 spire  et    L2=N22L0
Il est reliè à une résistance R.

u1 tension aux borne du primaire et u2 au secondaire.

Comment déterminer l'inducatance mutuelle entre le primaire et le secondaire dans le cas d'un transformateur parfait en fonction de N1 N2 et L0

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 19-06-16 à 19:27

Bonsoir
Tu as normalement démontré en cours qu'en cas d'influence totale on  obtient :

M=\pm\sqrt{L_{1}\cdot L_{2}}
Le signe de M dépend des  sens d'enroulements du fil de cuivre constituant les deux bobines sur le noyau de fer et des conventions d'orientation choisies. En revanche, L1 et L2 sont nécessairement des grandeurs positives (voir ton cours...)

Posté par
philou28re : Transformateur et co 19-06-16 à 20:47

Comme l'année est finie, on, a eu un résumé de cours et des exercices avec seulement le résultat final et on doit trouver M=N1N2L0

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 19-06-16 à 21:53

Selon toi que vaut \sqrt{L_{1}\cdot L_{2}} ???

Posté par
philou28re : Transformateur et co 19-06-16 à 21:58

OK j'ai vu mais ou pourrais je trouver la démonstration la relation avec la racine carrée ?

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 19-06-16 à 23:29

Citation :
OK j'ai vu mais ou pourrais je trouver la démonstration

Une démonstration rigoureuse possible consiste à étudier deux enroulements de N1 et N2 spires sur un même noyau torique. Je ne suis pas sûr que cela soit à ton programme.
Sinon, une vérification de la formule est possible en imaginant deux enroulements de N1 et N2 spires sur un même noyau cylindrique de longueur très supérieure à son diamètre. Tu supposes négligeable le diamètre des fils devant celui du cylindre et tu supposes la longueur des deux solénoïdes suffisamment grande devant le diamètre du cylindre. Tu peux calculer le flux à travers l'enroulement n° 2 du vecteur champ créé par l'enroulement n°1 parcouru par un courant d'intensité I1 et écrire ce flux sous la forme :\Phi_2=M\cdot I_1. Tu obtiens l'expression du vecteur B1 créé par l'enroulement n° 1 en assimilant celui-ci à un solénoïde infiniment long...

Posté par
philou28re : Transformateur et co 19-06-16 à 23:32

Merci
mais comment interviennent L1 et L2 ?

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 19-06-16 à 23:37

Les expressions de L1 et L2 sont faciles à démontrer en assimilant chaque enroulement à un solénoïde de longueur très grande devant son diamètre.

Posté par
philou28re : Transformateur et co 19-06-16 à 23:47

je sais que : L=r20N2/I

mais je n'arrive pas a avoir la formule

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 10:16

Ta relation appliquée à chaque bobine conduit à :

L_{1}=\mu\frac{\pi r^{2}N_{1}^{2}}{l}\quad;\quad L_{2}=\mu\frac{\pi r^{2}N_{2}^{2}}{l}

L'intérieur des solénoïdes est un solide ferromagnétique et non le vide, il convient de remplacer la perméabilité magnétique du vide par celle de ce milieu, notée µ. En utilisant la méthode que je t'ai indiquée précédemment, il te faut démontrer :

M=\pm\sqrt{L_{1}\cdot L_{2}}=\pm\mu\frac{\pi r^{2}N_{1}N_{2}}{l}

Comme déjà expliqué, le signe de M dépend des sens des deux enroulements et des conventions d'orientations.

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 10:55

Desolé mais je bloque
je sais que
1/2=Mi2
2/1=Mi1

J'ai du mal dans la manipulation de ces formules

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 11:24

Je ne suis pas sûr que ce genre de démonstration soit exigible en IUT. Voici les principales étapes de la démonstration, les hypothèses justificatives ayant été données dans mes messages précédents.
En supposant que la bobine n°1 soit parcourue par un courant d'intensité i1, celle-ci crée un champ magnétique de vecteur B1 tel que :

B_{1}=\mu\frac{N_{1}i_{1}}{l}

En supposant les deux bobines convenablement orientées, le flux de ce champ à travers une spire de la bobine n°2 vaut : B_{1}\cdot\pi r^{2} . Le flux de ce champ à travers les N2 spires de la bobine n° 2 vaut :

\Phi_{2/1}=N_{2}B_{1}\cdot\pi r^{2}=\mu\frac{\pi r^{2}N_{1}N_{2}}{l}\cdot i_{1}=Mi_{1}

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 13:00

OK ça j'ai compris
mais je retrouve pas la valeur de M

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 16:20

Dans l'énoncé L0 est une constante ne répandant que de la géométrie des bobines.
Y a t il une relation entre 1/2 et L1 ou L2 ?

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 17:00

Peux on dire que M12=M21=N1N2L0  si oui comment le justifier ?

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 17:15

Relis les messages postés précédemment... Tu es tout de même en enseignement supérieur...

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 17:18

J'ai bien lu et compris vos messages mais je pense que dans le raisonnement il ne doit y avoir que la présence de L0 mais les variables de la géométrie des bobine (l,r

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 17:31

Dans le cas où les bobines primaire et secondaire sont assimilables à des solénoïdes de longueurs grandes devant le diamètre du noyau de fer, les expressions de L1 et l2 rappelées le 20-06-16 à 10:16 correspondent à :

L_{0}=\mu\frac{\pi r^{2}}{l}
Il s'agit d'une simple identification. Tu constates bien que Lo ne dépend que de la géométrie des bobines. Les bobines des transformateurs réels ne sont pas assimilables à des solénoïdes très longs. L'expression de Lo est alors plus compliquée mais l'énoncé ne demande pas de la démontrer me semble-t-il...

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 17:37

Je l'avais aussi remarqué
Ce que je n'arrive pas a faire c'est expliciter  1/2 en fonction de L1 et L2 et donc M12  pour pouvoir obtenir la relation par identification à L1*L2

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 17:52

Citation :
Ce que je n'arrive pas a faire c'est expliciter  1/2 en fonction de L1 et L2

La démonstration générale avec deux bobines quelconques sous influence totale n'est pas du tout du niveau IUT...Relie mon message du 19-06-16 à 23:29 !

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 17:52

Dans ce cas 1/2=L0N1N2i1  mais comment le justifier sans passer par les formules que vous avez écrite ?

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 17:53

Je veux bien vous croire mais c'est la question de l'exercice

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 18:11

As-tu étudié l'expression générale de l'énergie magnétique emmagasinée par deux bobines couplées en fonction de L1,L2,M, i1 et i2 ?

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 19:04

Non, je ne connais pas les formules
A par Em=1/2 Li²

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 20:16

J'ai deux autres questions :
J'ai démontré que u2=mu1 avec m=N2/N1
Comment démontrer que i2=-i1/m ? sans le théorème d'ampère que j'ai vu en cours sur internet mais que je n'ai pas dans mon cours ?

comment montrer que la puissance p1 fournie par  le générateur est égale à la puissance p2 reçue par la charge Ru ?

Grand merci pour votre aide
Comme toujours...

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 20:46

Citation :
Non, je ne connais pas les formules

Je m'en doutais un peu. On démontre que dans le cas de deux bobines qui s'influencent mutuellement, l'énergie magnétique totale emmagasinée peut s'écrire :

E_{m}=\frac{1}{2}L_{1}i_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}i_{2}^{2}+Mi_{1}i_{2}=\frac{1}{2}i_{1}^{2}\left(L_{1}+L_{2}\frac{i_{2}^{2}}{i_{1}^{2}}+2M\frac{i_{2}}{i_{1}}\right)

Les deux bobines sont parcourues chacune par un courant : i_{1}\neq0\;;\; i_{2}\neq0 .
En posant :

X=\frac{i_{2}}{i_{1}}  : réel a priori quelconque :

E_{m}=\frac{1}{2}i_{1}^{2}\left(L_{2}X^{2}+2MX+L_{1}\right)

On démontre par ailleurs que l'énergie emmagasinée par unité de volume dans l'espace d'existence du champ magnétique créé par les deux bobine vaut : \frac{B^{2}}{2\mu} . L'existence du carré montre que l'énergie magnétique ne peut être négative. Cela implique :

P(X)=L_{2}X^{2}+2MX+L_{1}\geq0

L1 étant strictement positif, l'inégalité précédente est vérifiée si la parabole représentative des variations de P(X) en fonction de X ne coupe pas l'axe des ordonnées ou, dans le cas de P(X) = 0, rencontre cet axe en un seul point : son sommet . Ces conditions correspondent à un discriminant négatif ou nul :

4M^{2}-4L_{1}L_{2}\leq0

Soit :

M\leq\sqrt{L_{1}L_{2}}

Le cas limite de l'égalité est le cas particulier idéal de l'influence totale correspondant à ton problème. Je ne suis vraiment pas certain que cette démonstration corresponde au niveau IUT...

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 20:48

Merci c'est exactement ce que j'ai fait, Super

J'ai deux autres questions :
J'ai démontré que u2=mu1 avec m=N2/N1
Comment démontrer que i2=-i1/m ? sans le théorème d'ampère que j'ai vu en cours sur internet mais que je n'ai pas dans mon cours ?

comment montrer que la puissance p1 fournie par  le générateur est égale à la puissance p2 reçue par la charge Ru ?

Grand merci pour votre aide
Comme toujours...

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 20:55

Un transformateur idéal n'absorbe pas de puissance : la puissance instantanée reçue au primaire est égale à la puissance instantanée fournie par le secondaire...

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 21:11

C'est ce que je pensais mais je n'était pas sur

Pa contre la relation entre i1 et i2 est pas évidente

Posté par
philou28re : Transformateur et co 20-06-16 à 21:37

Peut on dire que
p1=p2  don u1i1=-u2i2 et donc i2=-i1/m

Posté par
vanoisere : Transformateur et co 20-06-16 à 22:51

oui !


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