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Système masse-ressort, atténuer vibrations
Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour un exercice dont l'énoncé est:
Un système d'atténuation des vibrations est représenté dans la ci-dessous. Une masse M importante (typiquement une machine dans un atelier) est suspendue à une structure plus importante par un ressort de raideur K. Une force 𝑓(𝑡)=𝐹𝑒−𝑖𝜔𝑡 harmonique est exercée sur cette machine.
On cherche à atténuer les vibrations de la machine en ajoutant à celle-ci un oscillateur de masse m et de constante de raideur k, comment choisir k et m pour minimiser les vibrations de la machine ? (Application numérique M = 1 tonne, K = 105 N/m, m = 10 kg, F = 100 N, = 10 rad/s).
J'avais pensé à utiliser le ressort comme amortisseur et choisir k et m de façon à être en régime critique car c'est le plus rapide à atteindre sa position d'équilibre, cependant, je ne sais pas comment m'y prendre.
Merci d'avance.
Bonjour
Tu modélises la liaison machine de masse M - bâti par un simple ressort. Ne serait-il pas plus réaliste de modéliser cette liaison par un ensemble {ressort-amortisseur} ? Sinon comment parler de régime critique ?
Cela dit, ton modèle très simplifié permet d'obtenir un résultat : en régime sinusoïdal permanent, tu note x l'élongation complexe de m et X l'élongation complexe de M. La RFD appliquée successivement aux deux masses, permet d'obtenir X en fonction de F, K, k, m , M et 
.
Tu peux alors trouver une relation qui minimise le module de X...
Merci pour ta réponse vanoise,
En appliquant la RFD aux deux masses, j'obtiens : - MX'' = -KX - k(X-x) + Fe^i𝜔t
- mx'' = -k(x-X)
Est-ce correct? Si oui, comment dois-je poursuivre? Résoudre les deux équations pour obtenir une relation?
Je ne comprends pas ces égalités, comment peuvent elles m'aider à trouver m et k?
Mes deux équations différentielles sont: X" + [(K+k)/M]*X - (k/M)*x = (F/M) e^i𝜔t
x" + (k/m)*x - (k/m)*X = 0
remplace X" et x" par leurs expressions en fonction de X et x que je t'ai fournies précédemment : tu vas obtenir un système de deux équations à deux inconnues X et x. Élimine x entre les deux équations , tu obtiendras X en fonction des données...
en régime sinusoïdal, si X=Xm.cos(t+
), tu obtiens bien :
X"=-2X , 
t
Tu obtiens le même résultat en raisonnant sur les complexes associés.
Je trouve cette expression de X :
Maintenant pour la minimiser, j'avais penser à résoudre le système:
pour annuler les deux termes, mais avec l'application numérique je trouve des valeurs trop élevées donc je ne pense pas que ce soit bon, comment ferais-tu?
X apparaît à la fois à gauche et à droite de ton expression ! Il faut regrouper tous les termes dépendant de X après avoir éliminé x.
Tu vas remarquer qu'il existe un réglage particulier de k et m qui fait tendre X vers zéro pour F
0.
Evidemment, comme je te l'ai déjà fait remarquer, cette modélisation est assez grossière...
Je trouve cette expression:
pour la minimiser j'ai pensé à maximiser le dénominateur mais avec deux inconnues je n'arrive pas à trouver les conditions portant sur m et k.
J'avais pensé à cela, le dénominateur tend vers -infini et X tend vers 0, mais comment déterminer numériquement m et k ensuite?
A noter que pour
Il me semble avoir expliqué que cette modélisation était simpliste et qu'en réalité il faut tenir compte des amortissements...
Et si Dirac prenait la peine de lire la totalité des posts avant de critiquer le travail des autres aidants ?
Hello
Mais je ne critiquais personne bien sûr (qui suis je pour me permettre cela). Je soulignais, sur le ton de la blague - enfin j'essayais d'en faire une- que ce résultat finalement "acceptable" sur le plan théorique, passait un résultat évidemment inacceptable pour x.
Vous dégainez très vite, Vanoise (cf post précédent sur le vide). Je vous éviterai soigneusement désormais 
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