Rebonjour,
Excusez moi, je viens de lire les rêgles. Je vous met le sujet retaper même si je trouve que le scan est beaucoup plus lisible notamment pour les formules mathématiques.

Voici le sujet :
Certains panneaux d'autoroute ont des inscriptions qui paraissent lumineuses dans l'éclairage
des phares. Pour cela on peut utiliser des petites billes de fort indice de réfraction n (l'indice
de l'air est pris égal à 1). On note R le rayon de la bille.
On considère un rayon incident parallèle à un axe de la bille, à une distance h <= R/2 de
cet axe (figure 9.25). Ce rayon subit une première réfraction, puis une réflexion sur la face
opposée et enfin une seconde réfraction.

Figure 9.25 -> Image scannée

Questions :
1. Quelle erreur commet-on sur la première réfraction en se plaçant dans l'approximation de
Gauss (voir chapitre suivant, paragraphe 2.3) ? Dans la suite on se place dans cette approximation.
2. À quelle distance h' de l'axe le rayon frappe-t-il la deuxième face de la bille ? En déduire la
condition sur n pour avoir h' = 0
3. En déduire la direction d'émergence du rayon après la deuxième réfraction.

Correction :
1. Il s'agit de calculer l'angle d'incidence i (figure S9.2 -> Image scanné). Dans le triangle IOH, on a
sin i =h/ R <= 1/2, or Arcsin(0, 5) = 0, 52 rad. On commet donc au maximum une erreur de 2 sur 50
soit 4 pour cent. Dans la suite, on prend donc h = Ri.
Figure S9.2 -> Image scannée
2. Le triangle IOI' est isocèle donc II' = 2R cos r ~ 2R dans l'approximation de Gauss. D'autre part, h − h' = II' cos a avec a = r + pi/2 − i d'où :
h' = h − II' cos(r + pi/2− i) = h + 2R sin(r − i) ~ h + 2R (r − i)
En appliquant la loi de Descartes en I dans l'approximation de Gauss : sin i = n sin r   soit  i = nr, on en déduit :
h' ~ h + 2Ri(1/n− 1) ~ h + 2h(1/n - 1) = h(2/n− 1)
On obtient h'= 0 pour n = 2 et pour tous les rayons considérés.
En fait les verres d'indice 2 n'existent pas mais on peut s'en rapprocher.
3. Si h' = 0, l'angle d'incidence sur le deuxième dioptre est r par rapport à l'axe (figure S9.3 - > Image scannée). Le rayon réfléchi repart symétriquement, et la loi de Descartes en J est la même qu'en I. Le rayon renvoyé par la bille à la même direction que le rayon incident et repart donc dans la direction de l'automobiliste.

1)

Dans le triangle OHI :

h = OI.sin(i)
h = R.sin(i)
sin(i) = h/R  (1)

Si l'angle i est petit, alors on a et sous cette condition, on a alors :

Estimation de l'erreur maximale qu'on fait en faisant l'approximation ci dessus (donc que sin(i) = i) :

En considérant h <= R/2, (1) donne : sin(i) <= 1/2 et donc 0 < i <= Pi/6

Si on trace la courbe représentant la fonction f(i) = i/sin(i) pour i dans ]0 ; Pi/6], on a ceci :



On peut y lire que 1 <= i/sin(i) <= 1,0472

donc, en remplaçant sin(i) par i on fait une erreur maximale de 4,72 %

Dans le corrigé, on a fait un peu autrement ... mais on arrive au même résultat (erreur de 4 % max annoncée)
En pratique les réponses sont les mêmes, en effet arcsin(0,5) = 0,5236 rad (et pas 0,52 rad) et donc le corrigé avec une meilleure approximation serait arrivé à une erreur maximale de 0,0236/0,5 = 0,0472 (soit 4,72 %)

ATTENTION, on est obligé d'exprimer "i" en radian et pas en degré dans la relation :

Bonjour,
On peut assimiler la boule à une succession de deux dioptres sphériques ou, dans le cas de la dernière figure, à une succession d'un dioptre sphérique et d'un miroir sphérique ayant pour axe de symétrie commun l'axe optique qui est ici la droite passant par le centre O de la boule.
Les conditions de Gauss sont au nombre de deux :
1° tous les rayons doivent être peu inclinés par rapport à l'axe optique. Pas de problème ici.
2° tous les rayons doivent rencontrer les dioptres ou les miroirs au voisinage de l'axe optique, c'est à dire à une distance du sommet S très faible devant le rayon du dioptre ou du miroir.
Pour que cette seconde condition soit remplie, il faudrait : h<<R. Cette condition n'est pas du tout réalisée !
Conséquences des conditions de Gauss, les angles i et r doivent être suffisamment petits pour que l'on puisse poser :
sin(i)i si i est exprimé en radians
cos(i)1 ; ce qui revient à considérer le point H comme pratiquement confondu avec le sommet S.
Ton corrigé montre que la condition sin(i)i  est vérifiée à 4% près, ce qui est acceptable mais dans le cas : sin(i) = 0,5 on obtient : cos(i)=3/20,866 soit un écart relatif par rapport à 1 de 15,5% environ ; cela paraît beaucoup ! D'ailleurs, on voit bien sur la figure que le point H n'est pas proche du sommet du dioptre...
Voici en dessous un schéma avec hR/6. Le rayon tracé en bleu peut être qualifié de "paraxial", adjectif inventé pour dire qu'il respecte les conditions de Gauss.

Bonjour,
Tout d'abord merci beaucoup pour vos réponses, ca fait plaisir de se sentir aider .
J'ai compris grâce à vous la question 1 mais la question 2 j'ai du mal.
Pourquoi on dit que II' = 2R cos r ~ 2R ?
Merci

Bonjour,
Tu ne m'as pas bien lu : les conditions de Gauss impliquent des angles d'incidence et de réfraction suffisamment petits pour pouvoir faire les deux approximations :
sin(i)i si i en radians
cos(i)1

Complément au message précédent : puisque l'angle r est plus petit que l'angle i, les approximations valides pour i le sont aussi pour r :
sin(r)r si r exprimé en radians
cos(r)1

Ah Ok, et pour le cos(a) = r+/2 - i
Comment on y arrive ?

* Je voulais dire cos a = cos (r + - i)

Bonjour,
revois ton cours de maths :quelle est la relation entre cos(x) et cos(x+) ?

C'est bon j'ai compris merci