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methode matricielle

Posté par
Ariel60
11-08-16 à 07:51

Bonjour,
Donc voila,en electricite on me demande de determiner le courant circulant dans chaque branche d un circuit par la méthode matricielle des tensions des noeuds.et là au moment d etablir l 'écriture matricielle du système d equation obtenu à partir des expressions de chaque difference de potentielle,est ce que la matrice correspondante depend de l ordre de mon systeme d equation,si c' est le cas alors quel ordre je dois prendre?
j'espere que ce que je dis est assez clair

Posté par
vanoise
re : methode matricielle 11-08-16 à 23:40

Les lois de nœuds et des mailles doivent te conduire à un système linéaire de n équations à n inconnues. Je traite l'exemple n = 3. A toi d'adapter ensuite à ton problème. Ce système peut s'écrire :
\begin{cases}
 \\ a11.i1+a12.i2+a13.i3=b1\\
 \\ a21.i1+a22.i2+a23.i3=b2\\
 \\ a31.i1+a32.i2+a33.i3=b3
 \\ \end{cases}
En notation matricielle, cela devient :

\left(\begin{array}{ccc}
 \\ a11 & a12 & a13\\
 \\ a21 & a22 & a23\\
 \\ a31 & a32 & a33
 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
 \\ i1\\
 \\ i2\\
 \\ i3
 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 \\ b1\\
 \\ b2\\
 \\ b3
 \\ \end{array}\right)
Supposons le déterminant de la matrice des coefficients différent de zéro :

\left[\begin{array}{ccc}
 \\ a11 & a12 & a13\\
 \\ a21 & a22 & a23\\
 \\ a31 & a32 & a33
 \\ \end{array}\right]\neq0
Il existe alors une solution unique au système d'équations. Si tu as une calculatrice capable de calculer l'inverse d'une matrice, tu obtiens directement les valeurs des inconnues.

\left(\begin{array}{c}
 \\ i1\\
 \\ i2\\
 \\ i3
 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
 \\ a11 & a12 & a13\\
 \\ a21 & a22 & a23\\
 \\ a31 & a32 & a33
 \\ \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}
 \\ b1\\
 \\ b2\\
 \\ b3
 \\ \end{array}\right)

Posté par
Ariel60
re : methode matricielle 12-08-16 à 17:00

Ah merci.et si j'échange les lignes dans le système d'équations ça ne fait pas changer la valeur du déterminant?

Posté par
vanoise
re : methode matricielle 12-08-16 à 18:59

Bonjour
au départ, tu peux écrire tes n équations dans l'ordre que tu veux mais il faut conserver cet ordre tout au long du calcul matriciel.
Modifier l'ordre des équations modifie la matrice des coefficients (aij) mais modifie aussi la matrice colonne des constantes (bj) de sorte que les valeurs des intensités obtenues sont identiques quel que soit l'ordre choisi.
Si tu modifie la matrice des coefficients, tu modifie aussi son déterminant mais celui-ci reste différent de zéro à condition de bien avoir n équations indépendantes. Je prends un exemple tout à fait au hasard et j'utilise les unités du système international:
\begin{cases}
 \\ 2i1+3i2-i3=0\\
 \\ 6i1-2i2+3i3=5\\
 \\ i1+5i2+4i3=10
 \\ \end{cases}

\left(\begin{array}{ccc}
 \\ 2 & 3 & -1\\
 \\ 6 & -2 & 3\\
 \\ 1 & 5 & 4
 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
 \\ i1\\
 \\ i2\\
 \\ i3
 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 \\ 0\\
 \\ 5\\
 \\ 10
 \\ \end{array}\right)

\left(\begin{array}{c}
 \\ i1\\
 \\ i2\\
 \\ i2
 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
 \\ 2 & 3 & -1\\
 \\ 6 & -2 & 3\\
 \\ 1 & 5 & 4
 \\ \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}
 \\ 0\\
 \\ 5\\
 \\ 10
 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 \\ 0,1064\\
 \\ 0,5319\\
 \\ 1,8085
 \\ \end{array}\right)

avec un déterminant de la matrice des coefficients égal à -141.

Si je permute les lignes 1 et 3 j'obtiens :

\left(\begin{array}{ccc}
 \\ 1 & 5 & 4\\
 \\ 6 & -2 & 3\\
 \\ 2 & 3 & -1
 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
 \\ i1\\
 \\ i2\\
 \\ i3
 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 \\ 10\\
 \\ 5\\
 \\ 0
 \\ \end{array}\right)
 \\ 
 \\ \left(\begin{array}{c}
 \\ i1\\
 \\ i2\\
 \\ i2
 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
 \\ 1 & 5 & 4\\
 \\ 6 & -2 & 3\\
 \\ 2 & 3 & -1
 \\ \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}
 \\ 10\\
 \\ 5\\
 \\ 0
 \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 \\ 0,1064\\
 \\ 0,5319\\
 \\ 1,8085
 \\ \end{array}\right)

On obtiens bien les trois mêmes intensités et cette fois-ci le déterminant de la matrice des coefficients vaut 141.

Posté par
Ariel60
re : methode matricielle 12-08-16 à 21:11

mmh je vois.merci infinement!

Posté par
Ariel60
re : methode matricielle 24-08-16 à 09:12

J ai une autre question:comment retrouver le vrai sens du courant si je me trouve des expressions en nombres complexes des intensités?
Cordialement.

Posté par
vanoise
re : methode matricielle 24-08-16 à 09:42

Bonjour
En régime continu, tu orientes arbitrairement les sens des courants. Si ton calcul conduit à une valeur réelle positive de l'intensité, le courant circule effectivement dans le sens choisi ; si tu obtiens une valeur réelle négative, le courant circule en sens inverse du sens choisi.
Si le déterminant de la matrice des coefficients est nul : tu n'as pas écrit autant d'équations indépendantes que d'inconnues à ton problème : cela arrive parfois : deux équations écrites sont identiques à un coefficient multiplicatif près.
Si ton calcul conduit à des valeurs complexes : tu t'es certainement trompé à écrire au moins une de tes équations. Ce résultat n'a pas de sens physique en régime de courants continus.

Posté par
Ariel60
re : methode matricielle 24-08-16 à 11:11

mais ici je suis sur un courant alternatif et je ne vois pas comment est le vrai sens du courant,puisque au debut on impose un sens arbitraire
Cordialement.

Posté par
vanoise
re : methode matricielle 24-08-16 à 11:28

Ignorant les conventions exactes que tu utilises pour les complexes associés et les conventions de signes sur les déphasages, difficile de te fournir une réponse rigoureuse. Il vaudrait peut-être mieux que tu postes l'exercice qui te pose problème. Imaginons que tu poses :
i(t)=I_{m}\cdot\cos\left(\omega t-\varphi\right)\quad\underline{i}=I_{m}\cdot e^{-j\varphi}\cdot e^{j\omega t}
Ta méthode matricielle te fournit a priori : A+j\cdot B=I_{m}\cdot e^{-j\varphi}
Tu as juste à passer de la forme A+j.B à la forme module, argument.
Attention : d'autres conventions sont possibles !

Posté par
Ariel60
re : methode matricielle 24-08-16 à 19:02

Dans mon exercice j'ai par exemple des courants de mailles:
J1=0.71+1.39j
J2=0.483+0.206j
J3=0.924+0.91j

J'ai maintenant à calculer les intensités des branches.par exemple j'ai un I5 qui dépend deJ1 et J2,mais comment savoir si je dois prendre J2-J1 ou J2-J1?
Cordialement.

Posté par
vanoise
re : methode matricielle 24-08-16 à 23:11

Citation :
mais comment savoir si je dois prendre J2-J1 ou J2-J1?

Tout dépend de la façon dont tu as choisi tes orientations de courants.
De façon générale : la somme des intensités arrivant au nœud est égale à la somme des intensités partant du nœud.
Si les flèches correspondant à J1 et J2 sont orientées vers le nœud et la flèche correspondant à i5 dans le sens sortant du nœud, alors : i5=J1+J2.
Si les trois flèches sont toutes les trois orientées vers le nœud, il faut écrire :
i5+J1+J2=0...

Posté par
Ariel60
re : methode matricielle 25-08-16 à 07:29

mmh merci pour la réponse.mais si j'utilise la loi des courants fictifs de mailles,J1 et J2 serrent la branche qui contient I5 alors je dois prendre  la somme algébrique des deux.mais je ne sais pas lequel est le plus grand d'entre eux?

Posté par
vanoise
re : methode matricielle 25-08-16 à 10:24

Bonjour
En complexe associés : J1+J2=(0,71+0,483)+j(1.39+0,206)
Cela correspond à un courant d'intensité(efficace ou maximale ? cela dépend de tes conventions)
I_{5}=\sqrt{\left(1,193^{2}+1,596^{2}\right)}\approx1,99A
avec une phase comprise entre 0 et /2 rad telle que :
\varphi=\arctan\left(\frac{1,596}{1,193}\right)
Cela peut conduire à :
i_{5}(t)=1,99.\cos\left(\omega t-0,929\right)
En fonction de tes conventions, il faut peut-être multiplier par 2 et/ou changer le signe de la phase...
Difficile d'être plus précis sans connaître le circuit à étudier.

Posté par
Ariel60
re : methode matricielle 25-08-16 à 10:31

D'après la loi des courants fictifs des mailles,l'intensite dans une branche est egale a la somme algebrique des intensites de courant de mailles qui serrent cette branche.Ici je ne sais pas lequels de J1 et J2 ont la plus grande valeur algebrique puisque ce sont des nombres complexes

Posté par
vanoise
re : methode matricielle 25-08-16 à 12:01

réfléchis à ce que signifie "somme algébrique". Si algébriquement : i5=J1+J2, tu utilises la méthode que je t'ai indiquée dans mon message précédent (aux réserves près sur les différentes conventions). Je ne comprends pas ce qui te gênes  !



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