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La notation dx/dt

Posté par
leond 29-04-16 à 20:08

Bonjour,

Lorsque l'on note dx/dt, cela signifie-t-il qu'il faut diviser la dérivé de x par la dérivé de t ? Parce que je sais qu'on lit cela par "la dérivé de x par rapport à t", mais il m'arrive de voir dans des exercices :

dx/dt = y
=> dx = ydt
(souvent suivi d'une intégration)

Je pensais que le dt au dénominateur n'était qu'une certaine forme de notation et donc ne pouvait pas être utilisé, que dx/dt équivalait à f'(x) en maths...

Posté par re : La notation dx/dt 29-04-16 à 21:44

Salut !

Le dx/dt est le coefficient directeur de la tangente vu d'une façon "infinitésimale". Cette notation exprime le rapport $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ . La notation vient de là : https://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_de_Leibniz
Ici c'est donc une variation infinitésimale de position sur une variation infime de temps et que tu connais certainement comme la vitesse
La vitesse moyenne elle s'exprime sans se passage à la limite et est tout simplement $v_m_o_y = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ .
Tu peux aussi aller voir la page sur la différentielle en maths si tu veux en savoir plus.
Concernant le fait de passer d'un côté ou de l'autre de l'égalité le dt, c'est effectivement quelque chose de faisable. Pour avoir un exemple physique en tête tu peux découper une distance $L$ en plein de petit intervalles que l'on note $dx$ , et si tu fais par exemple $N$ découpages tu aura bien que $L = N*dx$ .
C'est imagé mais ça permet de comprendre pourquoi $dx$ et le $dt$ sont "indépendants" dans la notation de la dérivée et que tu peux les passer d'un côté ou de l'autre.

Posté par re : La notation dx/dt 29-04-16 à 22:59

Merci d'avoir pris le temps de répondre !
J'ai encore un doute pour bien comprendre :
La primitive de dx/dt est-elle donc x/t ? (j'ai fait des exercices où je prenais juste x comme primitive donc ça me parait bizarre) Cette idée m'est venu car tu me dis que "dx" et "dt" sont indépendants, peut être ai-je mal compris ?

Posté par re : La notation dx/dt 29-04-16 à 23:51

Non cette primitive n'a pas de sens, comme d'intégrer $dx/dt$ . Lorsque tu intègres tu le fais par rapport à une (ou plusieurs variables) mais jamais sur un tel quotient. La preuve, si je te demande de retomber sur $dx/dt$ , comment t'y prendrai-tu avec $x/t$ en dérivant par rapport à t ?
L'écriture $dx/dt$ suggère que initialement tu avais une fonction $x(t)$ que tu as dérivé par rapport à la variable $t$ .
Ainsi, pour revenir sur cette fameuse fonction, tu peux intégrer par rapport à la variable $t$ en passant le terme à droite de l'égalité que tu m'avais donné, et dans ces conditions tu retombes sur une forme que tu connais bien puisque c'est exactement le terme au sein d'une intégrale ! Il ne te reste plus qu'a intégrer de chaque côté de l'égalité.
$dx = ydt$ te dit que si tu intègres de chaque côté, à gauche tu intègres selon $x$ et à droite selon $t$ .
Revois ton cours sur l'intégration, cela te paraîtra sans doute plus clair.
J'espère ne pas t'avoir embrouillé avec l'image que je t'ai donné. D'autres personnes seront sans doute plus qualifiées que moi pour te faire comprendre.

Posté par re : La notation dx/dt 30-04-16 à 09:47

Non non vous expliquez très bien C'est juste qu'il me manque certaines bases apparemment. Si quelqu'un a des fiches et des exercices sur cette notation je suis preneur

Posté par re : La notation dx/dt 30-04-16 à 10:05

Je vais prendre un exemple :
En cinétique chimique, on peut lier les concentrations avec la vitesse de réaction.
$\frac{d[A]}{dt} = b$ (b une valeur réel)
Et donc là j'ai le droit de faire quoi ? Passer dt de l'autre côté puis intégrer pour trouver [A] ?
Parce que moi j'intégrais directement $\frac{d[A]}{dt}$ pour trouver [A] = -bt + C

Autre exemple : $\frac{d[A]}{dt} = -b[A]$
Alors là, je comprends plus rien...

J'essaye de faire l'analogie dans ma tête avec les notations habituelles en math (f'(x)) mais je bloque

Posté par re : La notation dx/dt 30-04-16 à 13:52

Je pense que mon analogie n'était pas nécessaire, oui $dx/dt$ est une notation mais exprime un quotient avant tout, c'est pourquoi tu peux te permettre de les séparer. En maths lorsque tu prends une fonction $f(x)$ , sa dérivée notée $f'(x)$ peut se noter également et de façon plus rigoureuse $df/dx$ . Dans notre cas avec $dx/dt$ , notre fonction est $x(t)$ qui est la position. Cela peut aussi se noter $d(x(t))/dt$ . Si tu regarde attentivement cette dernière notation tu peux la lire "je regarde une variation infime de la fonction $x(t)$ et je divise par une variation infime de temps $dt$ ". Je pense qu'il faudrait que tu revois la définition de la dérivée, car elle exprime bien un rapport.
Pour l'intégration, tu dois effectivement passer le $dt$ de l'autre côté. Ne pas le faire exprime le bon résultat parce que tu te doutes plus ou moins de la forme de la fonction $A(t)$ . Cependant si je te met des fonctions plus difficiles tu ne saura pas le faire "de tête" et tu devra donc bien passer le $dt$ de l'autre côté afin d'intégrer correctement.
Tu as donc $dA = b*dt$
Ce qui s'intègre de chaque côté : $\displaystyle \int 1*\mathrm{d}A = \displaystyle \int b*\mathrm{d}t$ et là tu trouves bien $A(t) = bt$ qui est une primitive.
Ton dernier exemple est un équation différentielle du premier ordre. Avant de faire celle-ci je te conseille de bien revoir toute l'intégration et la dérivation.