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Force et mécanique

Posté par
Darkiki1122
20-06-16 à 16:02

Bonjour à tous !
Je vous pose mon problème :
On désire déterminer la force requise afin de lancer un objet verticalement vers le haut, d'une hauteur h_1 jusqu'à une hauteur h_2. Cet objet sera soumis uniquement à son poids, on pose \vec{g} = -g\vec{e_y} supposée constante. On négligera également les forces de frottements. J'introduit donc les données intéressantes du problème :
On pose t_0 le début de l'expérience, t_1 la fin du lancer ( la force sera appliquée pendant \Delta t = t_1 - t_0) et t_2 le moment où l'objet arrive en h_2. L'objet sera initialement au repos et possédera une vitesse v_0 à la fin du lancer. On se place désormais entre t_1 et t_0:
Nous pouvons écrire que F = ma, où a est l'accéleration que va posséder le corps grâce à la force lors du lancer. Nous avons donc : F = m\frac{\Delta v}{\Delta t} = m\frac{v_0}{\Delta t}. Le but est désormais de déterminer la vitesse v_0 que devra posséder l'objet afin d'arriver en h_2. On se place donc ici entre t_1 et t_2 :
On peut écrire le PFD et on obtient alors a' = -g et en intégrant afin d'obtenir les équation horaires du mouvement on trouve y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_1. Or, la condition y(t_2) = h_2 nous permet d'isoler v_0. On obtient donc :
v_0 = \frac{\Delta h}{t_2} + \frac{1}{2}gt_2 ( où on pose \Delta h = h_2 - h_1 et t_2 > 0 afin de pouvoir diviser par celui-ci).
On en déduit alors l'expression de F :
F = \frac{m}{\Delta t}(\frac{\Delta h}{t_2} + \frac{1}{2}gt_2).
J'espère que vous pourrez me dire si ce résultat est correct et que le raisonnement l'est aussi. Cependant ce qui me dérange c'est le fait que cela me paraît assez compliqué, et qu'il aurait été plus simple de raisonner en terme d'énergie, en énonçant que la travail de la force F entre \Delta t doit valoir le travail du poids mg\Delta h. Problème, je dois faire venir le temps dans le travail en forcant l'apparition de celui-ci et j'obtient une expression qui me semble différente de celle obtenue précédemment. Si vous pouviez me dire si effectivement passer par la notion d'énergie est possible et si il existe effectivement une façon plus simple d'en déduire la force du lancer en passant par celle-ci.

Ps : j'ai oublié de préciser que lors du calcul de la force que j'ai effectué, on imagine que celle-ci est délivrée durant un temps \Delta t très court, ce qui permet de dire que l'objet n'a presque pas bougé de h_1 et qu'il gagne quasiment instantanément sa vitesse v_0. Une de choses qui m'a tracassé est l'idée qu'il est impossible de s'imaginer une force qui s'applique instantanément sur l'objet et il a donc fallu que je fasse intervenir les temps t_1 et t_0 afin d'en déduire l'accélération ( et je sais que cela n'est pas possible, l'information irait plus vite que la lumière, mais justement l'idée d'une "force instantanée" est quelque chose de typique de la mécanique classique et pourtant impossible d'utiliser ce concept).

j'espère que vous comprendrez tout ce que j'ai dit, je vous remercie par avance !

Posté par
J-P
re : Force et mécanique 20-06-16 à 17:28

Ton problème n'a aucun sens.

On ne peut pas calculer la force au lancer sans autre précision. (comme par exemple la durée d'application de cette force ou la distance sur laquelle cette force est appliquée)

On peut par ceontre facilement calculer la vitesse nécessaire au moment du lancer :

Energie potentielle de pesanteur de l'objet au moment du lancer : Ep1 = m*g*h1 (référence des Epp = 0 au niveau du sol)
Energie cinétique de pesanteur de l'objet au moment du lancer  : Ecc1 = 1/2.m.V1² (avec V1 la vitesse verticale au lzncer)

Energie potentielle de pesanteur de l'objet au point le plus haut : Ep2 = m*g*h2
Energie cinétique de l'objet au point le plus haut : Ecc2 = 0 (car la vitesse est nulle en ce point)

Conservation de l'énergie mécanique (puisque pas de perte par frottement consdérée) :
Ep1 + Ecc1 = Ep2 + Ecc2
m*g*h1 + 1/2.m.V1² = m*g*h2 + 0

g*h1 + 1/2.V1² = g*h2
V1² = 2g(h2-h1)

V1 = Racinecarrée(2g(h2-h1))

Sauf distraction

Posté par
Darkiki1122
re : Force et mécanique 20-06-16 à 18:33

Je te remercie pour ta réponse.
Je suis parfaitement d'accord avec toi lorsque tu dis que l'on a besoin du temps d'application de la force. Cependant cette donnée est contenue au sein de mon \Delta t, du coup je pourrai être en mesure de calculer cette force de par l'expression que j'ai obtenu ( sous réserve qu'elle soit bonne bien sur !)
Par exemple, si je regarde un jour de baseball frapper une balle, si je connais le temps de contact avec la balle et la batte, la distance jusqu'où va cette balle et le temps qu'elle met pour y aller on peut trouver la force avec laquelle la balle a été lancée, et cela me paraît assez "logique" .. Et ce sont les informations contenues dans l'expression .. Pourrais-tu me dire précisément en quoi mon raisonnement est faux dès le départ ? Je ne comprends pas vraiment pourquoi on ne peut pas calculer la force ..
Merci !

Posté par
J-P
re : Force et mécanique 20-06-16 à 21:00

On montre facilement que V1 = Racinecarrée(2g(h2-h1)) et donc l'énergie cinétique au moment du lancer est Ec = 1/2 . m . V1² = 1/2 * m * 2g(h2 - h1)

Ec = m * g(h2 - h1)

Il faut donc "fournir" à l'objet par un coup ou autrement une énergie Ec = m * g(h2 - h1)

Peu importe comment ...

Si c'est via une force verticale constante F, il faudra que cette force soit appliquée à l'objet sur une distance d qu'on calculera ainsi

F * d = m.g.d + 1/2 m V1²

F = mg + 1/2 m (2g(h2-h1))/d

F = mg + m g(h2-h1)/d

F = mg (1 + (h2-h1)/d)

F = mg (d + h2 - h1)/d

La force F (considérée comme constante) devra être appliquée à l'objet sur une distance d, avec la relation F = m.g (d + h2 - h1)/d

On peut aussi chercher la durée de l'application de F sur l'objet :

a = F/m - g
a = g (d + h2 - h1)/d - g
a = g (h2 - h1)/d

d = a*t²/2
d = g (h2 - h1)/d * t²/2
t² = 2d²/(g.(h2 - h1))

t = d * RacineCarrée[2/(g.(h2 - h1))]

Les 3 grandeurs, F , d et t (durée d'application de la force à l'objet) sont liées par ces 2 relations :

F = m.g (d + h2 - h1)/d
t = d * RacineCarrée[2/(g.(h2 - h1))]

On peut CHOISIR une et une seule de ces grandeurs et en déduire les 2 autres via les relations ci-dessus.

Si on s'impose t, on calcule le d correspondant par t = d * RacineCarrée[2/(g.(h2 - h1))]
et on calcule ensuite le F correspondant par F = m.g (d + h2 - h1)/d

Pas question de faire tendre par exemple t vers 0 ... cela aboutira à un d-->0 et à F --> +oo

Si on veut, on peut éliminer d entre les 2 telaion précédente, et obtenit ainsi F en fonction de t (durée d'application de la force)

On arrive, sauf erreur à : F = mg + m/t * Racinecarrée(2g*(h2-h1))

Vérifions si c'est plausible :
Exemple numérique : h2-h1 = 50 m ; m = 1 kg ; g = 10 N/m
et choisissons t = 0,1 s

F = mg + m/t * Racinecarrée(2g*(h2-h1))
F = 10 + 1/0,1 * Racinecarrée(20*50) = 326,228 N

La résultante des foirce sur la balle pendant ces 0,1 s est F' = 326,228 - mg = 316,228
On a donc a = F'/m = 316,228/1 = 316,228 m/s²

et la vitesse atteinte après le coup est de : v = a*t = 31,6228 m/s

Soit Ecin, = 1/2 * m . v² = 500 J ... et donc l'objet montera de H tel que m*g*H = 500
H = 500/10 = 50 m ... ce qui est correct.  

Donc il semble bien que la relation liant F (supposée constante) et t (durée de l'application de F) pour que l'objet "grimpe" de (h2-h1) compté après la durée t est (hors frottement) :

F = mg + m/t * Racinecarrée(2g*(h2-h1))
-----
Une autre approche pourrait être de communiquer la vitesse initiale via un choc (supposé élastique) avec une masse cognant l'objet ...

Conservation de la quantité de mouvement ...

Mais de nouveau, il n'est pas question de calculer une "force de choc", cela ne rime à rien non associé à une durée ou une distance de contact.de masse m

Sauf distraction, rien relu.  

Posté par
J-P
re : Force et mécanique 20-06-16 à 21:01

A la fin de mon message précédent, lire :

Mais de nouveau, il n'est pas question de calculer une "force de choc", cela ne rime à rien non associé à une durée ou à une distance de contact.

Posté par
Darkiki1122
re : Force et mécanique 24-06-16 à 13:53

Bonjour,
Je te remercie pour cette réponse très complète et je m'excuse du délai de réponse de ma part !
J'aurai quelques petites questions concernant la relation F * d = m.g.d + 1/2 m V1². On peut obtenir cette relation à l'aide du théorème de l'énergie cinétique. Ce que cela nous dit ( j'espère ne pas me tromper, je veux le comprendre juste plus intuitivement ) c'est que l'on veut que notre objet possède après application une vitesse V1, mais celui-ci ne peut acquérir cette vitesse immédiatement et le temps qu'il la possède, il va falloir le faire monter jusqu'en d, et donc l'aider à lutter contre le poids, d'où le terme en mgd qui s'ajoute. Est-ce que cette interprétation est correct ? Mais auquel cas, la vitesse V1 ne devrait pas valoir alors \sqrt{2g(h2 - h1 - d)} ?

Sinon le reste est parfaitement compris. Je me rends compte que la notion clé est de plutôt parler en énergie et la notion fondamentale est la vitesse nécessaire pour le lancer, car en reprenant l'expression simple F = v0/delta t de mon premier message, on retrouve bien l'expression de la force apparente F' que vous avez trouvé ( j'avais lors de mon message pas compté le poids d'où le mg qui manque).

Posté par
J-P
re : Force et mécanique 24-06-16 à 14:41

Tout dépend où on considère h1

Pour moi, j'ai pris h1 au niveau où l'objet est après qu'on lui ait appliqué la force F sur une distance d.



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