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Exercice (hydrostatique)

Posté par
Kimxy
01-10-11 à 10:29

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice d'hydrostatique.

Voici l'énoncé (et le schéma recopié) :  

Une cloche cylindrique de masse m dont l'épaisseur des parois est négligeable, est renversée puis plongée verticalement dans une cuve remplie d'eau.
On désigne respectivement par S et H0, la section et la hauteur du cylindre ;  par et p0, la masse volumique de l'eau et la pression atmosphérique. La cloche s'enfonce dans le liquide en emprisonnant un volume d'air initial égal à son volume intérieur.
La répartition de la masse de la cloche est telle que dans son état final, elle flotte en restant verticale.

L'air emprisonné a une pression finale notée p1 ; on le considèrera comme un gaz parfait et on négligera sa masse volumique devant celle de l'eau.
Dans toute cette partie, la température est supposée constante.

Question 1 : Déterminer l'expression de la pression p1 de l'air dans la cloche.
Question 2 : Quelle est l'expression de la hauteur h de la cloche ?

Pour la 1, j'ai trouvé p1 = p0 + \frac{mg}{S} en appliquant la relation fondamentale de l'hydrostatique entre les points : - au contact de l'air (dans la cloche, à hauteur H).
                                                   - au contact de l'air (à l'extérieur), à hauteur h.

Pour la 2, je trouve h = H + (m/S), mais je pense qu'aucune de mes réponses n'est exacte.

Merci d'avance, voici le schéma :

Exercice (hydrostatique)

Posté par
Kimxy
re : Exercice (hydrostatique) 01-10-11 à 13:46

Personne n'aurait d'idée s'il vous plait ?

Merci d'avance once again

Posté par
djyo
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 12:21

Pour la 1, il faut à mon avis utiliser l'expression de la loi des gaz parfaits.

Tu peux considérer que la pression à l'altitude des pointillés est la même, vu qu'on est à l'équilibre (ça flotte).
Du coup:
pression en bas de la cloche = pression à la même altitude sans la cloche
p0 + (eau)gh = p1 + (eau)gH + mg/S


Bon après tu pouvais faire le bilan autrement, en utilisant Archimède ou autre mais tu serais arrivé au même résultat.

Posté par
Hilano
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 12:33

Bonjour!
Djyo, tu dis que La pression au point en bas de la cloche (sur les pointillés) est: P1+(rhô)gH + mg/S? Je n'ai pas compris, est-ce que tu pourrais détailler s'il te plaît?

Posté par
Hilano
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 12:35

En fait, je ne comprends pas pourquoi est-ce que tu rajoutes +mg/s...

Posté par
Hilano
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 13:37

Bon alors en ayant un petit peu réfléchi:
pour la question 1:
Le cylindre est à l'équilibre. Donc les forces du poids et de la poussée d'Archimède se compensent:
F(p)= mg
F(a)= P1*S-P0*S (différence de pression entre le bas et le faut du cylindre immergé dans l'eau : c'est ça que j'avais oublié)
d'où:
F(p)=F(a)(je parle en norme)
mg=P1*S-P0*S
mg+P0*S=P1*S
mg/S + Po =P1 !

Mais pour la question 2, je ne vois toujours pas désolée.

Posté par
djyo
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 13:52

Pour la première question la pression de l'air
P1V1 = nRT = P0V0
Et du coup P1 = P0.(V0/V1) = P0.(H0/(HO-H))

Pour la méthode avec Archimède:
Poids de la cuve remplie d'air =  Force Archimède volume immergé
F(du poids la cuve et de l'air sur l'eau) = mg(h-H)
P1 - P0  = rho(eau)g(h-H)

Pour Hilano, tu as raison je pensais qu'il fallait prendre en compte le poids de la cuve dans les calculs mais en fait celui-ci est contenu dans la pression de l'air (mes souvenirs de PAES ne sont pas toujours super).

P1 + (eau)gH = P0 + (eau)gh

Posté par
djyo
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 14:35

Euh,
F(du poids la cuve et de l'air sur l'eau) = m(vol immergé)g
P1 - P0 = (eau)g(h-H) = mg/S (comme tu l'as montré)

Posté par
Hilano
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 15:00

Oui et pour la question 2), je trouve comme toi Kimxy et je n'arrive pas à aller plus loin!

Posté par
djyo
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 15:32

En partant des formules que j'ai démontré:

P1 = P0.(H0/(HO-H))
et P1 + (eau)gH = P0 + (eau)gh

P1 - P0 = (eau)g(h-H)
P0(H0/(HO-H)) = (eau)g(h-H)
P0(H0/(HO-H))/((eau)g) = h-H

h = H + (H0/(HO-H))P0/((eau)g)

Bon après tout dépend d'en fonction de quoi vous voulez votre expression aussi....

Posté par
djyo
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 15:37

Bon encore une erreur, je dois être un peu fatigué:

P1 - P0 = P0(H0/(HO-H)-1) = P0(H/(HO-H))

h = H + P0(H/(HO-H))/((eau)g)

Posté par
Kimxy
re : Exercice (hydrostatique) 02-10-11 à 17:20

Merci à vous 2 de participer au problème. Ce serait bien que quelqu'un sûr de lui tranche sur ce problème mais apparemment nous sommes tous d'accord pour trouver que p1 = p0 + \frac{mg}{S}, ce que je trouve moi en appliquant la relation fondamentale de l'hydrostatique :

p0 + gh = p1 + gH p1 = p0 + g(h - H)
                                 p1 = p0 + mVg(h - H)
                                 p1 = p0 + \frac{mg}{S}

Pour la 2), je bloque à :  

h = H + \frac{m}{\rho S}

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