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difficulté pour exercice physique

Posté par
Tony13
22-08-12 à 10:20

Bonjour et déjà merci à ceux qui prendront la peine de lire ce message. Je suis étudiant en première kiné et j'ai un problème sur un exercice en ce qui concerne le projectile.

voici le problème: Robin des Bois tire une flèche qui s'élance avec une vitesse initiale formant un angle de
30° avec l'horizontale, vers une cible située 150 m plus loin. La flèche est tirée depuis
une hauteur de 1.5 m et le centre de la cible est situé à 50 cm au-dessus du sol. Quelle
doit être la grandeur de la vitesse initiale pour que l'objectif soit atteint ?

Pour rappel, formule de la portée : P= vo².sin(2.x)/g
avec x = angle

La réponse est de 40,98 m/s. Je ne sais pas quoi faire dans ce type d'exercice. Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp ?

cordialement

Posté par
Coll Moderateur
re : difficulté pour exercice physique 22-08-12 à 12:15

Bonjour,

1) Sans utiliser la formule de la portée

Dans un référentiel terrestre supposé galiléen. Chute libre (seule force appliquée à la flèche : son poids).
L'axe des abscisses est orienté dans le sens du mouvement, son origine est au départ aux pieds du tireur.
L'axe des ordonnées est orienté vers le haut, même origine.

Au départ les coordonnées de la flèche sont donc {0 ; 1,50}
On souhaite qu'à l'arrivée les coordonnées de la flèche soient {150 ; 0,50}

Vitesse horizontale de la flèche : V_0.\cos(30^\circ)
Abscisse de la flèche en fonction du temps (pour t 0 et avant l'impact)
x\,=\,V_0.\cos(30^\circ).t

Composante verticale de l'accélération de la flèche : -g
Vitesse verticale de la flèche en fonction du temps : -\,g.t\,+\,V_0.\sin(30^\circ)
Ordonnée de la flèche en fonction du temps
y\,=\,-\,\frac{1}{2}.g.t^2\,+\,V_0.\sin(30^\circ).t\,+\,1,5

Equation de la trajectoire de la flèche :
\Large y\,=\,-\,\frac{1}{2}.g.\frac{x^2}{V_0^2.\cos^2(30^\circ)}\,+\,V_0.\sin(30^\circ).\frac{x}{V_0.\cos(30^\circ)}\,+\,1,5

On écrit que pour x = 150 m alors y = 0,50 m

\Large V_0^2\,=\,\frac{1}{2}.g.\frac{150^2}{\cos^2(30^\circ).[150.tan(30^\circ)\,+\,1]}

Application numérique (avec g = 9,8 m.s-2)

V_0^2\,\approx\,1\ 678\,\rm{m^2.s^{-2}}

soit V0 40,96 m.s-1

2) En utilisant la formule de la portée et avec une lègère approximation.

À l'arrivée l'angle de la flèche avec l'horizontale sera très proche de 30°

Elle doit se trouver 1 mètre sous son niveau de départ. Pour cela elle doit se trouver à son niveau de départ environ 1tan(30°) 1,732 m avant la cible.

Donc la portée doit être de 150 - 1,732 148,268 m

La vitesse initiale V0 doit être telle que

\Large V_0^2\,=\,\frac{P.g}{\sin(2\,\times\,30^\circ)}\,=\,\frac{148,268\,\times\,9,8}{\sin(60^\circ)}\,\approx\,1\ 677,81\,\rm{m^2.s^{-2}}

D'où V0 40,96 m.s-1

Posté par
Coll Moderateur
re : difficulté pour exercice physique 22-08-12 à 14:33

Bien sûr, mais tu auras corrigé de toi-même, ce n'est pas (pour la deuxième méthode) :

Citation :
Pour cela elle doit se trouver à son niveau de départ environ 1 tan(30°) 1,732 m avant la cible.

Il faut lire :

Pour cela elle doit se trouver à son niveau de départ environ 1 / tan(30°) 1,732 m avant la cible.

Posté par
Tony13
re : difficulté pour exercice physique 22-08-12 à 16:12

Tout d'abord un tout grand merci ! Mais j'aurais deux questions,

- Dans la première méthode comment trouvez-vous "Vitesse horizontale de la flèche : vo. cos(30°)" ?

- Dans la deuxieme méthode, je comprends le fait que la flèche sera 1m sous son niveau de départ mais j'ai du mal à comprendre la logique du calcul : 1/tan(30°)

désolé si mes questions peuvent paraïtre bêtes :/

Merci d'avance !

Posté par
Tony13
re : difficulté pour exercice physique 22-08-12 à 16:15

Ah Excusez-moi mais j'ai pu trouver ma première question, néanmoins je ne trouve toujours pas ma deuxième question qui est je le rappelle :

Dans la deuxieme méthode, je comprends le fait que la flèche sera 1m sous son niveau de départ mais j'ai du mal à comprendre la logique du calcul : 1/tan(30°)

Posté par
Coll Moderateur
re : difficulté pour exercice physique 22-08-12 à 19:49

Voici un schéma.
Attention : les échelles ne sont pas du tout respectées (et donc pas non plus les angles par rapport à l'horizontale)

difficulté pour exercice physique

D est le point du départ ; ses coordonnées sont (0 ; 1,5)
C est la cible ; ses coordonnées sont (150 ; 0,5)

A est un point proche de la cible à la même hauteur par rapport au sol (1,5 mètre) que le départ
Les vecteurs symbolisent la vitesse en D et en A
les angles de ces vecteurs avec l'horizontale sont égaux (au signe près)

H est un point au-dessus de la cible, à la même hauteur par rapport au sol que D et A ; ses coordonnées sont donc (150 ; 1,5)

Puisque la distance HC vaut 1 mètre
et que l'angle \widehat{HAC} vaut à très peu près 30°

on en déduit que la distance AH vaut 1 / tan(30°) 1,732 mètre

Posté par
Tony13
re : difficulté pour exercice physique 23-08-12 à 17:57

Wow ! Un grand merci, cela m'éclaire grandement !!!
Sinon pour une toute dernière question, comment peut-on supposer que l'angle à la fin sera de plus ou moins 30° ?

Posté par
Coll Moderateur
re : difficulté pour exercice physique 23-08-12 à 18:05

Simple propriété d'une parabole d'axe de symétrie vertical (la trajectoire est une telle parabole) : pour deux points symétriques par rapport à cet axe vertical (donc deux points à la même hauteur au-dessus du sol) les tangentes sont symétriques et donc leurs coefficients directeurs sont opposés. Il en résulte que les mesures des angles de ces tangentes avec une horizontale ont même valeur absolue.

Posté par
Tony13
re : difficulté pour exercice physique 25-08-12 à 13:11

Ok ok un tout grand merci pour tous ces éclaircissements qui m'ont vraiment aidé !!

Posté par
Coll Moderateur
re : difficulté pour exercice physique 25-08-12 à 13:34

Je t'en prie.
À une prochaine fois !

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