Niveau maths spé

Circuit oscillant avec AO et multiplieur

Posté par
fenchyr 27-08-16 à 18:59

Bonjour,
Je me retrouve bloqué à la fin d'un sujet concernant les circuits électriques.
Dans le circuit ci-joint on cherche à montrer que l'équation d'évolution de la charge du condensateur est :

Q"−(α−βQ²)Q'+ 2w₀Q = 0

Avec w₀ = 1 / LC
Pour ce faire j'ai commencer par calculer les tensions aux bornes des multiplieurs, ainsi, si on note Vs1 et Vs2 les tensions aux bornes de S1 et S2 (k étant le facteur multiplicatif des multiplieurs) j'ai trouvé :

Vs1 = kQ²/C
Vs2 = k²(Q/C)²*R_cQ'

Puis en utilisant la loi des mailles dans la maille formée entre la tension Vs2 et les bornes de R_c je trouve :

Vs2 = Uc + UL + (R_c + R)Q'

Je pense me tromper ici car la question suivante suppose à Q et I "petits" de simplifier l'équation et d'étuider l'évolution de la charge dans le cas où < 0. Dans mon expression ce dernier étant une somme de deux résistance il est clairement positif.....

Merci pour toute aide (désolé pour la qualité de l'image mais je n'ai pas réussi à faire meiux pour rentrer dans les restrictions du site :/)

Circuit oscillant avec AO et multiplieur

Posté par re : Circuit oscillant avec AO et multiplieur 29-08-16 à 17:07

up s'il vous plaît

Posté par re : Circuit oscillant avec AO et multiplieur 29-08-16 à 23:03

Bonsoir
Ton schéma est très difficilement déchiffrable. Ce que je vais écrire est sans aucune garantie... Si je comprends bien, il s'agit d'étudier un classique oscillateur de Van der Pol... L'ampli op associé au 3 résistances simule une résistance négative. La tension à son entrée inverseuse vaut : $Ve=-R_{c}i=-R_{c}\cdot\dot{Q}$ .

M1 réalise une simple élévation au carré : $V_{S1}=k.u_{c}^{2}=k.\left(\frac{Q}{C}\right)^{2}$

M2 multiplie VS1 par Ve : $V_{S2}=k.V_{S1}.V_{e}=-k^{2}.R_{c}.\dot{Q}.\left(\frac{Q}{C}\right)^{2}$
La loi des mailles conduit à :

$V_{S2}=-k^{2}.R_{c}.\dot{Q}.\left(\frac{Q}{C}\right)^{2}=\frac{Q}{C}+\left(R-R_{c}\right)\dot{Q}+L.\ddot{Q}$
Soit :

$\ddot{Q}-\left(\frac{R_{c}-R}{L}-k^{2}\frac{R_{c}}{L.C^{2}}.Q^{2}\right)\dot{Q}+\omega_{0}^{2}\cdot Q=0$

Encore une fois : sans garantie...

Posté par re : Circuit oscillant avec AO et multiplieur 31-08-16 à 08:40

Merci effectivement après vérification il s'agit bien des bonnes tensions, dans le cas où I et restent "petits" juste pour vérification l'équation se réécrit bien :

Q" -Q' +wo²Q = 0 ?

Merci d'avance et bonne journée !

Posté par re : Circuit oscillant avec AO et multiplieur 31-08-16 à 11:32

Ah et une dernière chose la dernière question consiste à étudier le cas où alpha est négatif de valeur absolue "pas trop élevée" on nous demande de décrire le comportement du circuit j'avoue que j'ai du mal à voir ce qui se passe je sais qu'il n'y a pas divergence des solutions car -alpha et wo² sont de même signe mais après je ne vois pas ce que je peux dire de plus ...

Posté par re : Circuit oscillant avec AO et multiplieur 31-08-16 à 16:19

Bonjour
Effectivement, lors de l'amorçage des oscillations, on peut négliger l'influence des multiplicateurs et considérer le circuit RLC fermé simplement par le simulateur de résistance négative, ce qui donne bien l'équa.diff. de ton message de 8h40. Si tu cherches une solution de la forme :
$Q=Q_{m}\cdot e^{r.t}\cdot\cos\left(\omega t+\varphi\right)$
il est facile de montrer que r est du signe de (R_c-R). Pour que les oscillations s'amorce à partir d'une valeur initiale très faible de Q générée par les imperfections de l'ampli op et/ou les effets d'antennes, il faut donc R_c > R.
On peut comprendre les choses physiquement en remarquant que le simulateur de résistance négative se comporte comme un générateur vis à vis du circuit RLC fournissant la puissance instantanée p=R_c.i². Le circuit dissipe par effet Joule la puissance instantanée p_J=R.i². Pour que les oscillations s'amorcent, il faut p > p_J...
Reste ensuite le problème de la stabilisation de l'amplitude des oscillations. C'est là qu'interviennent les multiplicateurs.
A partir de l'équa. diff. générale que je t'ai fournie, tu peux facilement démontrer que l'amplitude des oscillations tend à augmenter si $\alpha-\beta.Q^{2}>0$ et tend à décroître si $\alpha-\beta.Q^{2}<0$ . Il est facile d'imaginer ainsi une stabilisation de l'amplitude à une valeur un peu supérieure à $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$
Pour la démonstration tu peux déterminer le sens de variation de l'énergie emmagasinée par le circuit RLC :

$\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}.\frac{d\left(L.\dot{Q}^{2}+\frac{Q^{2}}{C}\right)}{dt}$
Tu peux montrer que le signe de cette dérivée est celui de : $\alpha-\beta.Q^{2}$ .
Pour illustrer cela voici une simulation correspondant à l'équation différentielle vérifiée par Uc(t) :
$\ddot{u}_{C}-\left(100-1600.u_{C}^{2}\right)\dot{u}_{C}+\left(400.\pi\right)^{2}.u_{C}=0$
La première courbe montre bien l'amorçage puis la stabilisation en amplitude des oscillations. La seconde est un zoom montrant que le régime d'amplitude stable est quasi sinusoïdal, de fréquence très proche de la fréquence propre, d'amplitude $2.\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$ .

Circuit oscillant avec AO et multiplieur