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charge d'un condensateur!

Posté par zou93 (invité) 07-12-06 à 18:50

coucou!
bon je rame un peu sur mon cours de physique, need que qq'un m'explique une démonstration...
On a écrit l'equation différentielle de la charge du condensateur :
E= RC (duc/dt ) + uc
on pose =RC et on obtient :
E= (duc/dt ) + uc

On veut vérifier que uc = E.(1-e -t/RC) est solution de l'equation differentielle...
Bon voila là je cale...le prof nous l'a fait vite fait, mais étant donné qu'on a pas vu les exponentielles en cours, et encore moins les dérivées des exponentielles, je coince...

pitié, que qq'un m'aide!

Posté par
infophile
re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 18:57

Ok je te rédige ça

Posté par zou93 (invité)re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 19:04

raaaaaaaaaah merci t'es un amour!

Posté par
infophile
re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 19:20

On considère l'équation 4$ (F):E=RC\(\frac{dU_c}{dt}\)+U_c

4$ (F) est une équation différentielle d'ordre 1.

Les solutions de cette équation sont de la forme 4$ \blue U_c=Ae^{\alpha t}+B avec 4$ A, 4$ B et 4$ \alpha des constantes à déterminer.

Tu remplaces dans 4$ (F) et tu obtiens :

4$ E=RC\frac{d}{dt}(Ae^{\alpha t}+B)+Ae^{\alpha t}+B

Ensuite si tu as vu le cours sur les exponentielles en maths, tu calcules sa dérivée :

4$ E=RC\times (\alpha Ae^{\alpha t})+Ae^{\alpha t}+B

La tu factorises de la sorte :

4$ E-B=Ae^{\alpha t}(RC\alpha + 1)

Or 4$ E-B est une constante car 4$ E et 4$ B sont des constantes, de même 4$ RC\alpha+1 est une constante car 4$ R, 4$ C et 4$ \alpha sont des constantes donc on doit avoir 4$ Ae^{\alpha t}, une constante. Or cette expression varie en fonction de t donc on a forcément 4$ Ae^{\alpha t}=0 et du coup 4$ RC\alpha+1=0 \Leftright \alpha=-\frac{1}{RC}=-\frac{1}{\tau} ainsi que 4$ E-B=0\Leftright E=B.

Donc finalement 4$ \red U_c=Ae^{-\frac{t}{\tau}}+B.

Pour déterminer 4$ B on se sert des conditions initiales :

A l'instant 4$ t=0, la tension aux bornes du condensateur est nulle. De plus 4$ e^{-\frac{0}{t}=e^{0}=1 donc 4$ A=-E.

Donc la solution de l'équation différentielle est :

5$ \blue \fbox{U_c=-Ee^{-\frac{t}{\tau}}+E=E(1-e^{-\frac{t}{\tau}})}

J'ai pas le temps de me relire, donc attention aux éventuelles erreurs

5$ \fbox{\fbox{\stackrel{%20\stackrel{\wedge}{\fbox{\stackrel{\stackre{\stackrel{\sim}{\odot}\stackrel{\sim}{\odot}}{\nabla}}{\smile}}} }{\overline{\star \int \eta f \theta \Gamma \lambda \imath \ell \exists \star}}}}

Posté par zou93 (invité)re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 19:24

okokok...
et si tu veu le faire à l'envers, en remplaçant uc dans l'equation différentielle? (oui faut faire les 2 méthodes...)
juste dis moi c'est quoi  d( E.(1-e -t/RC))/dt ? je me débrouille après...

Posté par
infophile
re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 19:32

C'est la notation de la dérivée des physiciens

Par exemple si je définies la fonction 4$ \fbox{\red x\to f(t)=E(1-e^{-\frac{t}{RC}})}.

Alors 5$ \fbox{f'(t)=\frac{d[E(1-e^{-\frac{t}{RC}})]}{dt}}

Posté par zou93 (invité)re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 19:34

lol désolée je me suis mal exprimée...je sais que c'est la dérivée, mais elle est égale à quoi? comme je te disais, j'ai pas fait les dérivées d'exponentielles en maths, donc c un peu au feeling xd

Posté par
infophile
re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 19:36

Ah ok

Il vaut mieux revenir sous la forme développée.

La dérivée de la fonction exponentielle est dans ma démo

Posté par zou93 (invité)re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 19:42

okaaaaaaay merciiiiiiiii
vais essayer de comprendre tout ça mdr

Posté par
infophile
re : charge d'un condensateur! 07-12-06 à 19:43

Je t'en prie

C'est une démonstration à connaître

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