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Champ électrostatique, théorème de superposition

Posté par
quinpier
18-08-15 à 13:49

Bonjour,
Voilà, je bloque sur deux questions autour d'un exercice.

Il s'agit d'un triangle équilatéral de côté 2r, avec à ses sommets des charges -2q, +q, +2q.

On nous demande d'abord le champ électrique résultant au milieu du segment entre les charges -2q et +2q (sans tenir compte du troisième sommet dans les calculs), puis le champ électrique résultant au sommet avec la charge +q.

Comment faire exactement ?

Pour le champ électrique au milieu du segment, j'ai fait une somme : (2q)/(4πεr2) + (2q)/(4πεr2) = q/(πεr2), je ne pense pas me tromper.

Par contre, pour le champ électrique au sommet de charge +q, j'ai plus de mal. S'agit-il encore d'un théorème de superposition, ou simplement d'un champ électrostatique à distance du dipôle constitué par les charges -2q et +2q ? Ce qui me gêne c'est que ce soit en un point de charge +q : alors comment faire le théorème de superposition ? le fait qu'il y ait trois charges m'embrouille un peu...

Je ne vous demande pas de me faire l'exercice mais uniquement de m'aider à comprendre la méthode

D'avance merci pour votre aide, cordialement,
quinpier

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 18-08-15 à 14:14

Bonjour,

Citation :
Pour le champ électrique au milieu du segment, j'ai fait une somme : (2q)/(4πεr2) + (2q)/(4πεr2) = q/(πεr2), je ne pense pas me tromper.

OK dans la mesure où les deux vecteurs champs créés par (-2q) et (2q) sont colinéaires et de même sens.

Pour la suite, tu n'es pas très clair : s'agit-il de calculer le vecteur champ créé par (-2q) et (2q) au sommet où se trouve la charge q ? Pas de problème pour cela : tu appliques la méthode de la question précédente avec une petite complication : les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
S'il s'agit de trouver le vecteur champ créé par les trois charges au sommet où se trouve la charge q : impossible  : le champ n'est pas défini sur le charge ponctuelle !
Personnellement, je pense que la première hypothèse est la bonne, le but final de l'exercice étant sans doute de déterminer la force électrique exercée sur la charge q par les deux autres charges

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 18-08-15 à 15:19

Concernant les deux vecteurs champs, il me semble bien qu'ils soient colinéaires et de même sens puisque le vecteur champ créé par la charge positive s'en éloigne et celui créé par la charge négative s'en approche à partir du milieu du segment...

C'est vrai que je n'ai pas été très clair, je mets un schéma :
Champ électrostatique, théorème de superposition

Pour la 1ère question il s'agissait donc de déterminer le champ électrique au milieu du segment [AC] sans tenir compte de la charge en B.

Pour la 2ème question il faut déterminer "la norme du champ électrique généré en B", c'est tout ce qu'on nous indique... du coup il s'agit plutôt de ne tenir compte que des vecteurs champs créés par les charges en A et en C ? mais puisque les vecteurs ne sont pas colinéaires, comment faire ? il faut faire une projection avec des cosinus ou sinus ?

Merci pour cette réponse rapide et l'aide apportée, c'est très gentil

Cordialement, quinpier

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 18-08-15 à 16:16

Les choses sont maintenant beaucoup plus claires !

Citation :
Pour la 2ème question il faut déterminer "la norme du champ électrique généré en B"

Je crois qu'il faut comprendre : "la norme du champ électrique généré en B par les charges situées en A et en C"
Citation :
mais puisque les vecteurs ne sont pas colinéaires, comment faire ? il faut faire une projection avec des cosinus ou sinus ?

Deux méthodes sont possibles :
- celle dont tu parles qui nécessite le choix de deux axes ; par exemple : un axe parallèle à BH où H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) et un autre axe perpendiculaire au premier ;
- la construction géométrique du représentant du vecteur somme : c'est la méthode dite "du parallélogramme" qui en l'occurrence, est un losange puisque les normes des deux vecteurs champ sont égales.
Choisis la méthode qui te convient le mieux !

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 11:40

Bonjour,
Voici un schéma susceptible de t'aider.

Champ électrostatique, théorème de superposition

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 11:46

Une remarque à propos de mon schéma : il aurait été plus judicieux d'appeler \vec{E_A} et \vec{E_C} les deux vecteurs champ plutôt que  \vec{E_A} et \vec{E_B} mais cela ne devrait pas trop te gêner...

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 13:19

Bonjour,

Merci pour toutes ces réponses !!!

Oui j'ai refait ce schéma au propre en construisant le vecteur résultant...

Champ électrostatique, théorème de superposition

Le problème est qu'une fois cette construction obtenue j'ai du mal à obtenir sa norme. Peut-être faut-il que je définisse un repère pour obtenir les coordonnées x,y des points B et d'arrivée du vecteur afin d'en calculer la norme ???

Merci !!!

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 14:11

Tu peux effectivement choisir deux axes (BX) et (BY) en t'inspirant de mon schéma. Cela constitue un bon exercice d'entraînement pour de futurs problèmes. Sinon, le parallélogramme que tu as tracé est en fait un losange (deux côtés consécutifs de même longueur) avec des angles aux sommet de 60° ou 120°. Dans ces conditions, tu as en fait tracé deux triangles équilatéraux, donc... le résultat final sur la norme du vecteur champ est immédiat, sans le moindre calcul !

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 18:38

Merci pour ces explications, je comprends mieux...

Mais du coup ne doit-on pas considérer l'action du dipôle CA plutôt que des deux charges séparément ? parce qu'en fait il y avait plusieurs réponses au choix et ça évolue inversement au cube du rayon... comme si on calculait le champ en un point distant d'un dipôle :/

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 19:11

Attention à la notion de dipôle électrostatique. Un dipôle est effectivement modélisé par un ensemble de deux charges opposées mais les expressions du potentiel et du vecteur champ créés par le dipôle sont uniquement valides en des points de l'espace situés à des distances du dipôle très grandes devant la distance entre les deux charges du dipôle. Ce n'est pas le cas dans ce problème.

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 19:57

Je sais bien, mais le problème est que toutes les propositions évoluent inversement au cube du rayon... sauf une qui est un champ électrique nul, mais ce n'est pas le cas ici. Donc je ne comprends pas trop ce que j'ai loupé :/...

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 22:27

Bizarre mais difficile de juger sans avoir l'intégralité de l'exercice et le contexte dans lequel il a été posé.
Ce qui est sûr : le vecteur \vec{E} qui vient d'être déterminé est bien le vecteur champ en B créé par les deux charges (-2q) et (2q) placées respectivement en C et A.

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 19-08-15 à 22:41

Une remarque : dans la mesure où le vecteur champ qui vient d'être déterminé est colinéaire au vecteur \vec{AC} , le vecteur champ en B peut s'écrire sous la forme :
\overrightarrow{E}=\alpha\cdot q\cdot\frac{\overrightarrow{AC}}{r^{3}} est une constante que je te laisse déterminer.
Voilà peut-être la réponse à tes interrogations et à l'existence d'un terme en r3.

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 20-08-15 à 15:36

Quelques précisions sur les notations concernant le vecteur champ électrique créé en un point M du vide par une charge q situé en un point P (voir figure).
Pour bien montrer que la norme du vecteur est inversement proportionnelle au carré de la distance r entre P et M, on écrit souvent :
\overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{u_{r}}}{r^{2}}\vec{u_r} est un vecteur unitaireChamp électrostatique, théorème de superposition.
Il est aussi possible d'écrire :
\overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{PM}}{\Vert\overrightarrow{PM}\Vert^{3}} ;
cela ne veut pas dire qu'il s'agit du champ créé par un dipôle !
D'ailleurs cette notation aurait considérablement allégé les calculs précédents. Voici ce que cela donne en utilisant les mêmes notations :
\overrightarrow{E_{A}}=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\Vert\overrightarrow{AB}\Vert^{3}}=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\left(2r\right)^{3}}=\frac{q}{16\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{r^{3}}
\overrightarrow{E_{C}}=\frac{-2q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB}}{\Vert\overrightarrow{CB}\Vert^{3}}=\frac{2q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{BC}}{\left(2r\right)^{3}}=\frac{q}{16\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{BC}}{r^{3}}
Théorème de superposition :
\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_{A}}+\overrightarrow{E_{C}}=$$\frac{q}{16\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}{r^{3}}
D'où le résultat final donnant l'expression du vecteur champ en B créé par les deux charges localisées en A et C :
\boxed{{\overrightarrow{E}=\frac{q}{16\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\overrightarrow{AC}}{r^{3}}}}
Cette méthode est plus rapide que les deux précédentes !
Conclusion : quand tu postes un exercice, efforce-toi de le copier en entier ; l'aide que l'on pourra t'apporter sera plus efficace !

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 12:23

Bonjour,

D'abord désolé de n'avoir pas répondu plus tôt.

Ensuite, oui j'ai bien réfléchi à cette notation... mais le problème est qu'on nous demande la norme du champ électrique en B.
Or si je prends la norme de E, il faut prendre la norme du vecteur AC au numérateur soit 2r. En simplifiant par 2r on obtient donc :
E = q/(8π0 * r2)

Soit bien r2 au dénominateur et pas r3...

C'est vrai que je n'ai pas été précis dès le départ, mais c'est que je ne voulais pas donner tout l'énoncé comme si je demandais juste qu'on me le résolve. :/

Donc pour être plus précis :
Il s'agit de 3 charges électriques ponctuelles aux sommets d'un triangle équilatéral, dont chaque côté mesure 2r. On trouve des charges +2q en A, -2q en C et +q en B selon le schéma suivant :
Champ électrostatique, théorème de superposition

QUESTION 1 : En ignorant l'effet de la charge en B, déterminer la norme du champ électrique au milieu du segment [AC].

QUESTION 2 : La norme du champ électrique généré en B est :
Et là on a plusieurs propositions qui sont :

A0
B(2p)/(π0r3)
Cp/(2π0r3)
D(2p)/(4π0r3)
Ep/(4π0r3)


Voilà...
Encore merci pour le temps que tu me consacres ! :/

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 14:15

Que représente "p" ici ?

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 14:20

Ce n'est pas précisé, j'ai vérifié dans mon cours et la seule fois où cette notation est employée est le cas du champ à distance d'un dipôle (vecteur p)...

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 15:54

Le vecteur moment dipolaire a une norme égale au produit de la charge positive par la distance entre les deux charges ; cela conduit donc à poser : p=4qr ;
Aucune des proposition ne convient ! Et, je le répète, la théorie sur le dipôle ne s'applique pas ici : le champ créé en 1/r3 suppose la distance entre les deux charges très petite devant la distance entre le centre du dipôle et le point où on calcule le champ, ce qui n'est évidemment pas le cas ici !
De plus, la distance r qui apparaît dans l'expression du champ créé par un dipôle est la distance entre le point où on calcule le champ et le centre du dipôle...
P.S. : Je serais curieux de savoir où tu as trouvé cet exercice... Cependant, cet exercice a eu le mérite de te faire progresser !

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 17:36

Oui c'est bien ce qui est indiqué aussi dans son cours (p = q x a puisqu'il s'agit de deux charges +q et -q séparées par une distance a).

Justement pour la distance r au milieu du dipôle on pouvait ici utiliser M, milieu du dipôle, avec la hauteur qui joint M et B donc. Ce qui aurait permis d'utiliser l'angle têta assez commode de 90° non ?
Mais je suis d'accord que la taille du dipôle est quasiment celle de la distance à la charge en B donc on ne peut pas utiliser cette possibilité...

Eh bien c'est un QCM de concours donc ça a du être revérifié plusieurs fois pourtant. Je vais essayer de trouver autre chose parce que ça me semble bizarre qu'il n'y ait aucune réponse de juste. :/

Merci pour ton aide

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 17:50

Déjà, un énoncé qui utilise un symbole (ici la lettre p) dans une réponse proposée sans en donner la signification physique me parait bien léger...
J'imagine qu'il s'agit seulement d'un extrait de l'exercice ; sinon à quoi sert la charge q placée en B ?
Cela est déjà arrivé qu'une erreur se glisse dans un énoncé de concours...

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 17:56

Oui, mais j'ai bien vérifié et ce n'est indiqué à aucun endroit...

Et non, l'exercice n'est composé que de ces deux questions.

Concernant la charge q je l'ignore, mais se pourrait-il que du fait que le point B soit chargé il ne suffise pas de considérer les champs électriques émis par les particules en A et C ?

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 18:00

À ton avis, que peux-t-on dire du vecteur champ électrique créé en B par la charge q placée en B ?

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 18:02

On ne peut pas le définir de façon ponctuelle en B ? :/

Posté par
vanoise
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 18:09

Bien sûr ! ce champ n'est pas défini : la "formule" que tu connais conduit à une valeur infinie de la norme du vecteur champ.
D'où mes interrogations sur la pertinence de cet exercice . Les exercices habituels de ce type font calculer le vecteur champ en B créé par les charges (2q) et (-2q) comme nous l'avons fait puis demandent de caractériser le vecteur force électrique correspondant à l'action des deux charges (2q) et (-2q) sur la charge q située en B.

Posté par
quinpier
re : Champ électrostatique, théorème de superposition 21-08-15 à 18:45

D'accord...

Bon eh bien je resterai sur ma faim alors, il doit y avoir une erreur dans la conception de l'exercice.

Merci !!!



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