Bonjour
J'ai bien une idée mais, sans connaître la totalité de l'énoncé, je ne suis pas sûr qu'elle corresponde à la réponse attendue...
Tu peux écrire que la quantité de chaleur Q_F reçue (au sens algébrique du terme) par le fluide calorifique à l'intérieur du réfrigérateur est la somme d'une quantité utile au refroidissement de l'intérieur du réfrigérateur Q_Fu et d'une quantité perdue par production d'une couche de glace. En notant m la masse de glace formée sur un cycle et en remarquant que Q_F et Q_Fu sont des quantités positives :
Q_F= Q_Fu +mL_f avec L_f : enthalpie massique de fusion (positive).
Le second principe conduit à :


où Sc correspond à l'entropie créé par irréversibilité du cycle. On montre facilement que l'efficacité thermodynamique définie comme le rapport Q_Fu/W est plus faible qu'en absence de glace formée.
Il est éventuellement possible de poser :

On peut imaginer que dans le réfrigérateur, la formation de glace se fait à partir de vapeur d'eau et non d'eau liquide, il faut remplacer alors Lf par Ls : enthalpie massique de sublimation...

Je n'ai pas été assez précis : il s'agit de l'efficacité d'un congélateur après que de la glace, issue de l'humidité de l'air quand on ouvre la porte du congélateur, se soit installée.
On peut donc supposer  négligeable la formation de glace supplémentaire, notamment quand la porte est fermée.

Bonsoir,
Effectivement, sans énoncé précis...
Quelques remarques tout de même. En supposant négligeable la formation de glace supplémentaire, la seule modification apportée par la présence de la glace est la forte augmentation de la résistance thermique de la paroi séparant l'évaporateur dans lequel circule le fréon, de l'air à l'intérieur du congélateur. La température de vaporisation du fréon (T_F) est imposée par la pression en sortie du détendeur; elle n'est pas influencée par la présence de glace. Le cycle thermodynamique du fréon n'est pas influencé par la présence de glace. Ton cours sur la conduction thermique a montré qu'une augmentation de résistance thermique augmente l'écart de température entre le fréon et l'air du congélateur. Or plus l'écart de température entre le fréon qui absorbe de la chaleur et l'air qui en cède est grand, plus l'échange est irréversible, la réversibilité correspondant au cas limite où l'écart est un infiniment petit du premier ordre. Cela est assez facile à modéliser en supposant que l'air reste à une température fixe...

Bonjour !

En effet, je suis d'accord avec le fait qu'une isolation plus grande renforce l'irréversibilité et donc la création d'entropie créée.

Peut-on modéliser cet accroissement d'entropie et calculer le lien entre entropie créée et résistance thermique ? Probablement en utilisant dS(x)=Q/T(x) avec un profil entre les deux faces de l'isolant ?

Bonjour
Voici une modélisation évidemment très simplifiée. Je suppose que le fréon reçoit la quantité de chaleur Q_F à la température fixe d'évaporation qui est sa température d'équilibre liquide-vapeur à la pression de sortie du détendeur. La variation d'entropie du fréon s'écrit ainsi :


Cette approximation est excellente. Maintenant, je suppose, ce qui est beaucoup moins rigoureux, que l'air à l'intérieur du congélateur perd cette quantité de chaleur à une température plus élevée notée T_a et supposée fixe également. Cette approximation suppose que cette quantité de chaleur perdue compense exactement la quantité de chaleur reçue de l'air extérieur par manque d'isolation thermique des parois du congélateur. La variation d'entropie de l'air intérieur vaut pour la même durée de fonctionnement :


La somme de ces deux variations représente l'entropie créée par l'irréversibilité due à l'écart de température puisque le processus global est adiabatique.


Remarque : cette expression est en accord avec mon message précédent sur l'irréversibilité créé par l'écart de températures. Je note P_th la puissance thermique traversant la parois de séparation (supposée constante en fonctionnement permanent) entre l'air et le fréon, R_th la résistance thermique de cette paroi et t la durée de fonctionnement :


Par substitution, on obtient :


Pour un congélateur donné (P_th et T_F fixes), ce modèle simplifiée montre bien que le cas limite de la réversibilité correspond à une résistance thermique nulle, l'entropie créée par unité de temps étant fonction croissante de la résistance thermique...

Belle démonstration !
J'ai repris le même principe avec une isolation d'épaisseur e entre deux thermostats de températures respectives et . J'ai supposé que le profil de température dans l'isolant était linéaire. Avec le calcul de l'entropie échangée sur de fines couches, et en intégrant, je trouve .
Ce faisant, je me demande si je ne suis pas limite tautologique, car je trouve ce que j'aurais trouvé en calculant l'entropie échangée globalement au niveau de l'isolant, et que je montre simplement que le choix d'un profil de température linéaire est correct.
Mais là, je n'ai que l'entropie échangée. Comment en déduire l'entropie créée ? En disant que la transformation est adiabatique réversible ?? sur quelles bases ?

En te plaçant en régime permanent et en choisissant comme système l'ensemble {fréon de l'évaporateur, air intérieur, résistance thermique), l'évolution globale est adiabatique : cela apparaît quand j'écrit que le fréon reçoit Q_F quand l'air intérieur reçoit (au sens algébrique du terme) -Q_F. La variation d'entropie est donc seulement l'entropie créée.
J'utilise le fait que l'entropie est une fonction d'état extensive : la variation d'entropie de l'ensemble est la somme des trois variations d'entropie :
- variation d'entropie de la glace nulle car la masse de la glace et les paramètres de l'état de la glace sont supposées fixes ;
- variations d'entropie de l'air intérieur et du fréon calculées comme s'il s'agissait de deux thermostats...
Par rapport à ta démonstration : l'expression de l'entropie créée obtenue suppose le régime permanent établi : cela correspond effectivement à un profil de température linéaire dans la glace en supposant la conduction thermique unidirectionnelle. En supposant la conduction radiale (cas d'un manchon cylindrique de glace autour d'un tuyau cylindrique contenant le fréon), le profil de température est différent mais les expressions de l'entropie créée que j'ai obtenues restent valides.
Je ne comprends pas vraiment ton calcul : en régime permanent, chaque couche élémentaire reçoit autant de chaleur qu'elle n'en cède pour une durée t donnée. La variation d'entropie de la glace est donc nulle...

Dans mon calcul, sur une fine tranche dx, le transfert thermique est constant (mais compté avec des signes différents), et les températures sont légèrement différentes :
. Intégré sur l'épaisseur de l'isolant, cela donne .

Bonjour
En régime permanent, les paramètres intensifs d'état de la glace dépendent de x mais ne dépendent pas du temps. L'entropie de la glace étant une fonction d'état, elle ne dépend pas du temps. Ce raisonnement se suffit à lui-même. Je reprends tout de même ta démonstration :
en conduction unidirectionnelle, imaginons une "tranche" de glace de section droite d'aire S comprise entre les abscisses x et x+dx de température T(x). La variation d'entropie de cette tranche entre t et (t+dt) s'écrit :


où représente la quantité de chaleur reçue par la tranche élémentaire entre les instants de dates t et (t+dt) (infiniment petit du second ordre, d'où les notations...). En notant le vecteur densité de flux thermique orienté suivant l'axe des x dans le sens positif ; la puissance thermique reçue par la tranche élémentaire  représente le flux de ce vecteur à travers la surface délimitant la ” tranche ” :


En régime permanent, le vecteur densité de flux thermique ne dépend pas du temps et est à flux conservatif (voir équation générale différentielle de conservation de l'énergie thermique) :

J'ai posté trop vite : j'ai oublié un signe "-" dans une formule mais cela ne change rien à la démonstration :

Je suis embêté par le postulat de départ.
En effet, si on considère un profil de température et une tranche d'une certaine épaisseur dx, compte tenu que l'entropie échangée est égale à , on devrait tenir compte de la différence de température.
Le temps, comparativement, compte tenu de l'aspect régime permanent, devrait être moins important et ne pas nécessairement apparaître dans les équations.
De même, on peut admettre que le transfert thermique est identique à l'entrée et à la sortie (non accumulation de chaleur) et du coup le vecteur densité thermique est constant, ce qui du coup limite son intérêt.
Autrement dit au niveau de la tranche mais ne le serait pas , un peu comme pour un couple où la résultante est nulle mais pas le couple.