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Ascension d'une montgolfière avec atmosphère adiabatique

Posté par
nico045 18-10-16 à 16:06

Bonjour,

j'ai essayé de faire l'exercice suivant et j'aimerais bien avoir un avis sur ma manière de procéder, pour voir si cela est correct.

On considère une montgolfière ayant une nacelle de masse M et contenant un volume V de gaz ,   $\rho_{gaz}$ : masse volumique du gaz à l'intérieur de V.
On fait le choix de prendre le modèle adiabatique de l'atmosphère et on donne la relation :

$P = P_0 \left ( \frac {\rho}{\rho_0} \right )^\gamma$

On cherche à savoir jusqu'à quelle altitude la montgolfière va pouvoir monter avec ce modèle.

Voici mes étapes :

1)   exprimer $\rho$ en fonction de z
2)   écrire le PFD (Poids - Poussée archimède = 0) dans le cas où on est à l'équilibre et donc z = z_max puis isoler z_max.

1) on exprime dP par rapport à $d\rho$

$dP = \gamma \frac {P_0}{\rho_0 ^\gamma} \rho ^{\gamma -1} d\rho$

Or $dP = - \rho g dz$

$\gamma \frac {P_0}{\rho_0 ^\gamma} \rho ^{\gamma -1} d\rho = - \rho g dz$

$\rho^{\gamma -2} d\rho = - \frac {\rho_0 ^\gamma}{\gamma P_0} g dz$

ce qui donne après intégration
$\rho = cte \cdot z^{\frac{1}{\gamma-1}}$

2) Poids - Poussée archimède = 0

$g(M + \rho_{gaz} \cdot V - \rho \cdot V)} = 0$

il suffit alors de remplacer $\rho$ par la valeur trouvée au dessus et d'isoler z

L'écriture est assez lourde alors je me permets de ne pas continuer le calcul.

Néanmoins, cette méthode de résolution est-elle correcte ?

Posté par re : Ascension d'une montgolfière avec atmosphère adiabatique 18-10-16 à 17:03

Bonjour
D'accord avec toi pour la modélisation de l'atmosphère adiabatique sauf au niveau de la dernière ligne : tu as oublié la constante d'intégration. Il faut écrire :

$\rho=-K\cdot z^{\frac{1}{\gamma-1}}+\rho_{0}$
où K est une constante positive qui s'exprime en fonction de g, P_o et .
D'accord aussi avec ta relation donnant l'altitude maximale mais tu risques d'avoir des difficultés à trouver _gaz ; la considérer comme une constante compte tenu du chauffage du gaz intérieur est sans doute une approximation grossière, d'autant plus que ce gaz interne n'est pas homogène...

Posté par re : Ascension d'une montgolfière avec atmosphère adiabatique 18-10-16 à 19:01

En effet, je me suis rendu compte de l'oubli de la constante en écrivant z_max (qui était négative).

Je suis aussi d'accord pour dire que l'approximation sur $\rho_{gaz}$ n'est pas très réaliste mais puisqu'on ne me demande qu'une expression de z_max je pense qu'il est suffisant de l'écrire sous cette forme.
Merci

l'expression finale est alors :

$z_{max} = \left ( \frac {g\rho_0 ^\gamma (\gamma-1)}{\gamma P_0} \right ) \cdot \left ( \rho_0 - \frac {M}{V} - \rho_{gaz} \right ) ^{\gamma -1}$

Posté par re : Ascension d'une montgolfière avec atmosphère adiabatique 18-10-16 à 19:05

nico045 @ 18-10-2016 à 19:01

l'expression finale est alors :

$z_{max} = \left ( \frac {g\rho_0 ^\gamma (\gamma-1)}{\gamma P_0} \right ) \cdot \left ( \rho_0 - \frac {M}{V} - \rho_{gaz} \right ) ^{\gamma -1}$

erreur de " \frac "

$z_{max} = \left ( \frac {\gamma P_0}{g\rho_0 ^\gamma (\gamma-1)} \right ) \cdot \left ( \rho_0 - \frac {M}{V} - \rho_{gaz} \right ) ^{\gamma -1}$

Posté par re : Ascension d'une montgolfière avec atmosphère adiabatique 18-10-16 à 19:15

Tes calculs sont corrects. Des données plus précises sur la température moyenne du gaz intérieur, obtenue en altitude, devrait permettre une estimation de _gaz.

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