logo

Fiche de physique






I. Le champ de pesanteur uniforme

Dans une région de l'espace de quelques kilomètres de long, de large, de haut, le vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} est un vecteur constant (champ de pesanteur uniforme).
À chaque instant t, il a même sens, même direction et même norme.
Définition :
La chute libre est le mouvement d'un objet uniquement soumis à son poids.


II. Étude préliminaire

On étudie la chute libre d'un objet de masse m lancé avec un vecteur \vec{v_{0}} quelconque faisant un angle \theta avec le plan horizontal.

* Système : objet de masse m.
* Référentiel : terrestre supposé galliléen.
* Bilan des forces extérieures :
      * le poids de l'objet : \overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}
      * la poussé d'Archimède et les frottements exercés par l'air sont négligés.

III. Équation de la vitesse et équations horaires

Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur : image 1
L'objet est représenté par un point G de coordonnées (x ; y) qui est son centre d'inertie.
Conditions initiales : À t=0, la balle est au point O de coordonnées (0 ; 0).

On projette le vecteur vitesse sur les deux axes.
\overrightarrow{v_0}\left(v_0.\cos\theta ; v_0.\sin\theta\right)
* On applique la deuxième loi de Newton :
\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}\\-mg\overrightarrow{j}=m\overrightarrow{a}\\-g\overrightarrow{j}=\overrightarrow{a}
Donc \overrightarrow{a}\left(0 ; -g\right) (Le mouvement est uniformément acceleré sur l'axe (Oy))
* On sait que \overrightarrow{a}=\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}

On en déduit que \dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}\left(0 ; -g\right) et en intégrant, on obtient \overrightarrow{v}\left(K_1 ; -gt+K_2\right)
Pour déterminer les constantes d'intégrations K1 et K2, on utilise les conditions initiales.
À t=0, on a \overrightarrow{v_0}\left(v_0.\cos\theta ; v_0.\sin\theta\right)
Ce qui nous permet de trouver K1 et K2 tels que \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} K_1 & v_0.\cos\theta \\ K_2 & v_0.\sin\theta \\ \end{array} \right.
Donc \overrightarrow{v}\left(v_0.\cos\theta ; -gt+v_0.\sin\theta\right)
L'équation donnant la vitesse en fonction du temps est \boxed{v(t)=-gt+v_0.\sin\theta}

* On sait que \overrightarrow{v}=\dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}

Donc \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \dfrac{dx}{dt} & v_0.\cos\theta\ \\ \dfrac{dy}{dt} & -gt+v_0.\sin\theta \\ \end{array} \right.
En intégrant, on obtient \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x(t) & v_0.\cos\theta t+K_3 \\ y(t) & \dfrac{-1}{2}gt^2+v_0.\sin\theta t+K_4 \\ \end{array} \right.
À t=0, x=0 et y=0
On en déduit que K3= 0 et K4= 0

Les équations horaires du mouvement sont \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x(t) & v_0.\cos\theta t \\ y(t) & \dfrac{-1}{2}gt^2+v_0.\sin\theta t \\ \end{array} \right.

IV. Équation de la trajectoire

Pour obtenir une équation de la trajectoire, il faut exprimer y(t) en fonction non plus de t, mais de x.

x=v_0.\cos\theta t\Longleftrightarrow t=\dfrac{x}{v_0.\cos\theta}
On peut maintenant exprimer y en fonction de x en remplacant t par la valeur trouvée ci-dessus.
On a donc :
y(x)=\dfrac{-1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_0.\cos\theta}\right)^2+v_0.\sin\theta\left(\dfrac{x}{v_0.\cos\theta}\right)
En simplifiant on trouve finalement : \boxed{y(x)=\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2+\tan\theta x} qui est une équation du second degré (en accord avec la trajectoire parabolique).

V. Flèche et portée de la trajectoire

* La flèche de la trajectoire correspond au moment où la balle a atteint sa hauteur maximale. (H sur le dessin)
Quand la balle a atteint sa hauteur maximale, le vecteur vitesse a une direction horizontale. Sa composante sur l'axe des ordonnées (v_y) est donc égale à 0.

v_y=0\Longleftrightarrow -gt_f+v_0.\sin\theta=0\Longleftrightarrow t_f=\dfrac{v_0.\sin\theta}{g}

On réinsère cette valeur de t dans l'équation de la trajectoire ce qui nous donne :

y_f=\dfrac{-1}{2}g\left(\dfrac{v_0.\sin\theta}{g}\right)^2+v_0\sin\theta\left(\dfrac{v_0.\sin\theta}{g}\right)

Ce qui, en simplifiant, donne : \boxed{y_f=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}}


* La portée de la balle est la distance séparant le point de départ de la balle et le point d'arrivée (D sur le dessin).
L'ordonnée au point de chute est nulle.

y_p=0\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}gt^2_p+v_0.\sin\theta t_p=0.

Comme t_p est non nulle alors on a : -\dfrac{1}{2}gt_p+v_0.\sin\theta=0\Longleftrightarrow t_p=\dfrac{2v_0.\sin\theta}{g}

On insère la valeur de t_p dans l'équation x(t).

x_p=v_0\cos\theta\times \dfrac{2v_0.\sin\theta}{g}

Ce qui, simplifié, donne : \boxed{x_p=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}}



Merci à ProfilSkops Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

  • Cette fiche

  • Forum de physique

    * forum de terminale
    Plus de 11 249 topics de physique en terminale sur le forum.


prof de physique haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilephysique l'île de la physique
© Tom_Pascal & Océane 2014