logo

Fiche de physique






I. La bobine

La bobine est un dipôle constitué d'un enroulement serré de fil conducteur gainé dans un matériau isolant de faible épaisseur et de faible résistance.


Représentation dans un montage :
Le dipôle RL : image 1
(L,r)


La bobine est dite idéale si sa résistance est nulle.


II. Relation entre intensité et tension d'une bobine


On effectue le montage suivant :
Le dipôle RL : image 10


1. La résistance de la bobine est supposée négligeable.

Le dipôle RL : image 9
Ecran d'oscilloscope
L'expression des droites représentant la tension de la résistance sera U_R=at+k avec a et k deux réels.
Sachant que U_R=Ri, on a \dfrac{di}{dt}=\dfrac{a}{R}.

Concernant la tension U_{L}, elle est constante et soit positive, soit négative.
En calculant le rapport \dfrac{U_{L}}{\frac{di}{dt}}, on trouve que le rapport est constant.

On a donc \dfrac{U_{L}}{\frac{di}{dt}}=L

Soit au final \boxed{U_{L}_{ideale}=L\dfrac{di}{dt}}

L est appelée, inductance de la bobine et s'exprime en Henry (H).

2. La résistance de la bobine est supposée non-négligeable

On sait que {U_{L}_{ideale}=L\dfrac{di}{dt}.

Il faut donc ajouter la tension de la résistance interne de la bobine à la tension, dite idéale, de la bobine

U_L_{ideale}+U_r=L\dfrac{di}{dt}+U_r\Longleftrightarrow U_L_{ideale}+U_r=L\dfrac{di}{dt}+ri\Longleftrightarrow U_L_{reelle}=L\dfrac{di}{dt}+ri

\boxed{U_L_{reelle}=L\dfrac{di}{dt}+ri}


III. Réponse du dipôle RL à un échelon de tension

On réalise le montage suivant :
Le dipôle RL : image 11


1. Installation du courant

A la date t=0, on ferme l'interrupteur K.

* D'après la loi des mailles : E=U_r+U_L
or d'près la loi d'Ohm, U_r=Ri et par définition, U_L=L\dfrac{di}{dt}+ri.

Donc E=Ri+L\dfrac{di}{dt}+ri
Finalement,
\boxed{E=L\dfrac{di}{dt}+i(r+R)} : c'est l'équation différentielle de l'installation du courant i dans le dipôle RL.

La résistance totale du circuit est la somme de la résistance R du circuit plus la résistance r de la bobine : Rt=R+r

* La solution générale de l'équation différentielle est de la forme \boxed{i(t)=\dfrac{E}{Rt}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})}
Vérification :
\dfrac{di}{dt}=0\times(1-e^{\frac{-t}{\tau}})+\dfrac{E}{Rt\times\tau}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow\dfrac{di}{dt}=\frac{E}{Rt\times\tau}e^{\frac{-t}{\tau}}
On sait aussi que \boxed{\tau=\dfrac{L}{Rt}}

\dfrac{di}{dt}=\dfrac{E}{Rt\times\tau}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow\dfrac{di}{dt}=\dfrac{E\times Rt}{Rt\times L}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow \dfrac{di}{dt}=\dfrac{E}{L}e^{\frac{-t}{\tau}}

D'où

L\dfrac{di}{dt}+i(r+R)=L\dfrac{di}{dt}+i\times Rt=L\times\dfrac{E}{L}e^{\frac{-t}{\tau}}+\dfrac{E}{Rt}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})\times Rt=Ee^{\frac{-t}{\tau}}+E(1-e^{\frac{-t}{\tau}})

On simplifie ensuite.

Ee^{\frac{-t}{\tau}}+E(1-e^{\frac{-t}{\tau}})=Ee^{\frac{-t}{\tau}}+E-Ee^{\frac{-t}{\tau}}=E

Ainsi, la solution proposée vérifie bien l'équation différentielle du circuit.

Expression de UL(t)
On sait que U_L=L\dfrac{di}{dt}+ri

En remplaçant par \dfrac{di}{dt} et i par les données trouvé plus haut, on obtient la tension de la bobine en fonction du temps.

\boxed{U_L(t)=Ee^{\frac{-t}{\tau}}+r\dfrac{E}{Rt}(1-e^{\frac{-t}{\tau}})}

2. Rupture du courant

Quand l'intensité à atteint son seuil maximal, on ouvre l'interrupteur K et on considère l'ouverture de l'interrupteur comme la date t=0.

* D'après la loi des mailles : U_r+U_L=0

or d'après la loi d'Ohm, U_r=Ri et par définition, U_L=L\dfrac{di}{dt}+ri

Donc
\boxed{L\dfrac{di}{dt}+i(r+R)=0} : c'est l'équation différentielle de rupture du courant dans le dipôle RL.

* La solution de cette équation différentielle est de la forme \boxed{i(t)=\dfrac{E}{Rt}e^{\frac{-t}{\tau}}}
Vérification :
\dfrac{di}{dt}=\dfrac{-E}{Rt\times\tau}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow \dfrac{di}{dt}=\dfrac{-E\times Rt}{Rt\times L}e^{\frac{-t}{\tau}}\Longleftrightarrow \dfrac{di}{dt}=\dfrac{-E}{L}e^{\frac{-t}{\tau}} (car \tau=\dfrac{L}{Rt})

L\dfrac{di}{dt}+i(r+R)=L\dfrac{-E}{L}e^{\frac{-t}{\tau}}+\dfrac{E}{Rt}e^{\frac{-t}{\tau}}\times Rt=-Ee^{\frac{-t}{\tau}}+Ee^{\frac{-t}{\tau}}=0
La solution proposée vérifie bien l'équation différentielle du circuit.

3. Expression de UL(t)

On sait que U_L=L\dfrac{di}{dt}+ri
En remplaçant, \dfrac{di}{dt} par les égalités que l'on a au dessus on a l'expression de la tension de la bobine en fonction du temps.

\boxed{U_L(t)=-Ee^{\frac{-t}{\tau}}+r\dfrac{E}{Rt}e^{\frac{-t}{\tau}}}


IV. Graphique de la tension aux bornes de la bobine et intensité

1. Intensité du courant et tension aux bornes de la bobine lors de l'établissement du courant

Le dipôle RL : image 12
Sur le graphique, R représente la résistance totale du circuit.
On peut voir que le courant ne s'établit pas directement dans le circuit. La cause est la présence de la bobine qui s'oppose à l'apparition du courant.

La constante de temps \tau caractérise le retard que met l'intensité à atteindre sa valeur maximale E/R.
Il y a 3 méthodes pour la calculer.

1er : On utilise la relation \tau=\dfrac{L}{R_{totale}}

2ème : On trace la tangente à l'origine. \tau est l'abscisse de l'intersection entre la tangente et la droite E/R

3ème : On sait que i(t)=\dfrac{E}{Rt}e^{\frac{-t}{\tau}}. Lorsque t=\tau, on a i(t)=0,37\dfrac{E}{Rt} donc 37% de l'intensité maximale.
On peut donc déterminer la constante de temps grâce au graphique.

Lorsque t=5\tau, le régime est permanent, la tension a quasiment atteint 0.
Le dipôle RL : image 7
On aperçoit une discontinuité au temps t=0

2. Intensité du courant et tension aux bornes de la bobine lors de la rupture du courant

Le dipôle RL : image 13
On peut voir que le courant ne "disparaît" directement dans le circuit. La cause est la présence de la bobine qui s'oppose à la "disparition" du courant.

La constante de temps \tau caractérise le retard que met l'intensité à "disparaître".

Il y a 3 méthodes pour la calculer.

1er : On utilise la relation \tau=\dfrac{L}{R_{totale}}

2ème : On trace la tangente à l'origine. \tauest l'abscisse de l'intersection entre la tangente et l'axe des abscisses.

3ème : On sait que i(t)=\dfrac{E}{Rt}(1-e^{\frac{-t}{\tau}}). Lorsque t=\tau, on a i(t)=0,37\dfrac{E}{Rt} donc 37% de l'intensité maximale. On peut donc déterminer la constante de temps grâce au graphique.

Lorsque t=5\tau, le régime permanent est atteint, l'intensité est nulle (quasiment car l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe).
Le dipôle RL : image 8
On aperçoit une autre discontinuité au temps t=0.

La tension d'une bobine est une fonction discontinue du temps.
L'intensité du courant dans un circuit RL est une fonction continue du temps.


V. Analyse dimensionnelle de la constante de temps \tau du dipôle RL

Procédons à une analyse dimensionnelle de \dfrac{L}{R}

On considère la résistance de la bobine négligeable.

On a U=RI\Longleftrightarrow R=\dfrac{U}{I} soit [R]=\dfrac{[U]}{I}

On a également U_L=L\dfrac{di}{dt}\Longleftrightarrow L=\dfrac{U_L\times dt}{di} soit [L]=\dfrac{[U]\times T}{I}

\dfrac{[L]}{[R]}=\dfrac{[U]\times T\times I}{I\times[U]}=T

\dfrac{L}{R} est donc bien homogène à une durée.


VI. Energie enmagasinée dans une bobine

L'énergie emmagasinée par une bobine est donnée par la relation suivante :

E_B=\dfrac{1}{2}Li^2
L'énergie s'exprime en Joule, l'inductance en Henry (H) et l'intensité en Ampère (A).



Merci à ProfilSkops Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

  • Cette fiche

  • Forum de physique

    * forum de terminale
    Plus de 11 701 topics de physique en terminale sur le forum.


prof de physique haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilephysique l'île de la physique
© Tom_Pascal & Océane 2014