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Question demonstration point de Lagrange

Posté par
Macair
01-07-15 à 12:09

Bonjour a tous,

je réalise mon TIPE sur les points de Lagrange. Je rédige alors leur démonstration mais il y a deux éléments que je ne comprends pas pour déterminer la position de L4 et L3.

Le schéma est normalement compris dans mon message.

Par exemple, le point B désigne le soleil, Le point A la terre et C la position d'un Point de Lagrange.

La masse du corps en A est noté M et est égale à: M=k.M0 (la masse du soleil, ou du point B)

1)) Est il alors autorisé de noter : OB = ka/(1+k) avec a la distance AB
                                               OA = a/(1+k)

2)) ensuite nous notons la vitesse angulaire du point C.
comment celle ci peut être égale à Ω² = G (Mo+M) / a3

La terre a la même vitesse de rotation et par équilibre on obtient : Ω² = G M0 / a3

Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait ?

Merci beaucoup

Question demonstration point de Lagrange

Edit Coll : forum modifié ; initialement posté au niveau Maths-sup

Posté par
vanoise
re : Question demonstration point de Lagrange 01-07-15 à 14:20

Bonjour,
Je n'ai pas le contexte exact de ton étude mais il me semble que tu étudies le système à deux corps {terre - soleil} supposé isolé dans l'espace dans le repère barycentrique d'origine O qui est galiléen. O est ainsi le barycentre du système terre soleil. Tu as donc :
Mo.\vec{OB} + M.\vec{OA} = \vec{0}
en posant a : distance de A à B on obtient bien les distances OA et OB que tu indiques.
Pour l'expression de , il te faut étudier le mouvement circulaire uniforme de rayon a de la particule fictive de masse réduite µ = Mo.M/(Mo+M). La seconde loi de Newton conduit à :
µ.a.2 = G.M.Mo/a2;
cela conduit bien à l'expression de que tu fournis...

Posté par
Macair
re : Question demonstration point de Lagrange 01-07-15 à 14:45

Très bien merci beaucoup pour votre réponse. Mais pq étudier "le mouvement circulaire uniforme de rayon a de la particule fictive de masse réduite µ = Mo.M/(Mo+M)"
A quoi correspond vraiment cette particule fictive ?
dans quel contexte pouvons nous l'utiliser ?

Posté par
vanoise
re : Question demonstration point de Lagrange 01-07-15 à 16:14

Ayant vu niveau Maths-sup dans ton message, je n'ai pas développé... Je veux bien fournir quelques explications complémentaires mais cela ne remplacera pas un vrai cours sur le sujet.
Le "problème à deux corps" consiste à étudier deux solides, ici la terre et le soleil en interactions entre eux mais isolés dans l'espace : on néglige donc ici l'influence des autres astres. Le théorème du centre d'inertie (ou seconde loi de Newton) montre que l'accélération du centre d'inertie O du système des deux corps est nulle. Le repère d'origine O dont les trois axes ont des directions fixes par rapport à des étoiles très éloignées du système solaire est donc galiléen. On peut alors montrer que les caractéristiques du système des deux corps (énergie et moment cinétique) sont celles d'une particule unique fictive notée D, de masse µ (masse réduite déjà définie) soumise à la force exercée par B sur A, telle qu'à chaque instant :
\vec{OD} = \vec{BA} .
On se ramène ainsi à l'étude d'un point matériel D soumis à une force de gravitation. On sait que la trajectoire est une conique dans le cas général. Ici, il s'agit d'une ellipse de très faible excentricité que l'on assimile à un cercle de rayon a. La seconde loi de Newton appliquée à cette particule fictive conduit à la relation déjà fournie :µ.a.2 = G.M.Mo/a2.
Une fois connue la position du point fictif D, on revient aux positions des points A et B par les formules du barycentre qui conduisent à : OB = ka/(1+k) et OA = a/(1+k) .
On change alors de repère : le nouveau repère a pour origine le barycentre O mais tourne à la vitesse angulaire autour d'un axe (Oz) perpendiculaire au plan de figure de façon que la terre et le soleil soient fixes dans ce nouveau repère. Les positions de Lagrange correspondent à des positions  d'équilibre sous l'action de trois forces : les attractions gravitationnelles exercées par la terre et par le soleil et la force d'inertie centrifuge : m.rm.2

Posté par
Macair
re : Question demonstration point de Lagrange 01-07-15 à 18:29

D'accord, je comprends mieux certaines choses qui retombent dans mes recherches !
Merci Beaucoup

Posté par
Macair
stabilité des points de Lagrange 01-07-15 à 19:03

Bonjour à tous,

Je réalise actuellement mon TIPE sur les points de Lagrange. Après avoir calculé leur position, je souhaiterais étudier leur stabilité, plus précisément celle de L4 et de L5.

Voici mon expression du potentiel :
Ms= la masse du soleil    et MT= la masse de la terre

R le rayon de l'orbite, donc la distance Soleil/3ème corps ainsi que la distance Terre/3ème corps
la vitesse angulaire du 3 ème corps

U= -G Ms / R - G MT / R - 1/2 2 R2

Le dernier terme correspond à la force de Coriolis.

Ma question est alors la suivante : Comment étudier la stabilité d'un point d'équilibre qui ne dérive pas d'une énergie potentielle ?

Je pensais peut être revenir à l'équation du mouvement avec la 2nde loi de newton mais je suis tout de même coincé... La notion de stabilité abordée dans le cours utilisé le signe de la derivée seconde, mais ici je ne peux pas ...
Pouvez vous m'éclairer ?

Merci beaucoup

*** message déplacé ***

Posté par
vanoise
re : Question demonstration point de Lagrange 01-07-15 à 23:49

Bonsoir,
Il y a quelques fautes de compréhension dans ton dernier message...
Remarque préliminaire : il faut définir une fois pour toute des notations et s'y tenir : la masse du soleil est tantôt notée Mo, tantôt notée Ms ; il y a de quoi s'y perdre ! Je garde celles utilisées dans le premier message : à toi de transposer si tu le juges utile.
Première erreur ou au moins ambiguïté : n'est pas la vitesse angulaire du troisième corps : ce troisième corps est fixe par rapport au système terre-soleil ; désigne la vitesse de rotation du système terre - soleil - 3ème corps par rapport au repère barycentrique galiléen. Le système terre - soleil - 3ème corps ne constituant pas un référentiel galiléen mais un référentiel tournant à la vitesse angulaire par rapport au référentiel galiléen barycentrique, le troisième corps est soumis à trois forces comme je l'expliquais précédemment :  les attractions gravitationnelles exercées par la terre et par le soleil et la force d'inertie centrifuge : m.rm.2. La force d'inertie de Coriolis est nulle ici car le troisième corps est immobile dans le référentiel tournant.
Les notations ne sont pas cohérentes dans l'expression de l'énergie potentielle. Avec les notation du premier message, elle vaut :
Ep = -GMo.m/rB - G.M.m/rA-1/2.m. 2.rm2.
Par analogie avec l'électrostatique où l'énergie potentielle d'une charge ponctuelle q placée en un point de potentiel électrique U s'écrit : Ep = q.U, on peut écrire l'énergie potentielle du troisième corps de masse m sous la forme : Ep = m.U, ce qui conduit à :
U = -GMo/rB - G.M/rA-1/2 2.rm2.
m étant une constante positive, à un maximum de Ep correspond un maximum de U, à un minimum de Ep correspond un minimum de U.
Il s'agit donc de trouver la position du point C correspondant à un minimum de Ep donc à un minimum de U, ce qui n'est pas très simple dans la mesure où U fait intervenir trois variables de positions rA, rB et rm...

Posté par
Macair
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 09:34

Tout d'abord, excusez moi pour les notations, j'ai voulu créer un autre topic et en simplifiant les notations, j'ai écrit des choses incohérentes ...

Je n'ai pas de cours sur la force de Coriolis, mais en continuant mes recherches sur la stabilité des points de Lagrange, j'ai vu que si un objet se déplaçait dans ce référentiel, par exemple au voisinage d'une position d'équilibre, il va être soumis à la force de Coriolis. Pour étudier la stabilité, il faudrait donc tenir compte de cette force, non ?

Posté par
Macair
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 12:02

Je pense finalement avoir une idée.

J'ai écrit mon énergie potentielle en exprimant ra, rb et rm en fonction de x, y ,z et OA et OB (que je peux aussi remplacer).

En derivant cette énergie, j'obtiendrais une force correspondant aux attractions gravitationnelles exercées par la terre et par le soleil et la force d'inertie centrifuge. J'obtiendrais une Force notée F.

En positionnant notre 3 ème corps à proximité de L4 par exemple, la force de Coriolis rentre en compte. Donc de la on applique le PFD avec la force F et la force de Coriolis. Et peut être je pourrais obtenir quelque chose d'intéressant en projetant selon différent axe, pour finalement avoir une condition sur k. (M=kM0)

Pensez vous qu'on puisse aboutir sur quelque chose ?

Posté par
vanoise
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 15:15

Si, une fois trouvés les points de Lagrange, tu veux étudier le mouvement d'un corps au voisinage d'un de ces points, il te faudra effectivement prendre en compte la force d'inertie de Coriolis, mais tu n'en es pas là ! Pour l'instant, tu cherches les positions des points de Lagrange, ce qui n'est déjà pas si simple. Tu as a priori deux lois physique à ta disposition.
Fixons une bonne fois pour toute les notations : R* désigne le repère barycentrique d'origine O (barycentre du système terre - soleil) dont les axes sont dirigés vers trois étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes. Comme déjà expliqué, R* est galiléen.
R désigne le repère d'origine O dont l'axe Ox est orienté selon OA ; l'axe OY est orthogonal à OX tout en appartenant au plan des trajectoires des points A et B (le plan OXY est appelé plan de l'écliptique en astronomie).L'axe OZ est orthogonal au plan de l'écliptique. R n'est pas un repère galiléen : il tourne par rapport à R* autour de l'axe OZ à la vitesse angulaire . Le vecteur rotation de R par rapport à R* est :
vecteur = .vecteur Uz
Uz désigne un vecteur unitaire selon l'axe OZ.
La somme vectorielle des trois forces est le vecteur nul. Cela conduit à un résultat pas évident a priori : les trois vecteurs forces sont colinéaires puisque leur somme est le vecteur nul, le vecteur force d'inertie d'entraînement (noté Fc sur le premier document) ne peut avoir de composante suivant Uz alors que les forces gravitationnelle sont orientés respectivement vers B et A : tout cela n'est possible que si les points de Lagrange appartiennent au plan OXY.
Pour obtenir les positions des points de Lagrange dans ce plan, tu dois à la fois écrire que la résultante des trois forces y est le vecteur nul et que ces points correspondent à un extremum de U ou de Ep. La nature de l'extremum renseigne sur la stabilité de l'équilibre.
Tu connais les expressions des trois forces : inutile d'essayer de dériver Ep pour les retrouver !
Bon courage pour les calculs : ils sont assez simples (quoique...) pour L1 , L2 et L3 ; pour L4 et L5; c'est autre chose !

Posté par
Macair
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 15:28

J'aurais dû être plus clair dans mon problème... j'ai déjà calculé les positions des points de Lagrange il y a deux-trois jours.

Maintenant je sais que L4 et L5 sont stables. Je veux donc le montrer, et c'est ici que je rencontre pas mal de difficulté.
Le raisonnement de mon message (celui de 12H02) me mène à des calcules vraiment très .... sales.

Posté par
vanoise
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 15:45

Ton schéma et les notations sont celles du site :
http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/poincare/lagrange/lagrange_theorie.pdf.
Beaucoup de choses y sont expliquées de façon certes un peu succincte mais les calculs y sont très bien détaillés. Attention tout de même s'il s'agit d'un TIPE : le jury au cours des 10min de questions cherchera beaucoup plus à s'assurer de ta compréhension des phénomènes physiques que de la validité des calculs puisqu'ils savent que ces calculs sont disponibles sur le net...

Posté par
Macair
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 15:51

C'est exact je me suis aidé de ce site. Je suis d'accord, les calcules m'importent peu, mais je souhaite quand même comprendre, pourquoi les points L4 et L5 correspondent à des maxima de l'énergie potentielle alors que ce sont des points d'équilibre stable? Ils devraient plutot correspondre à des minima non ?

Posté par
vanoise
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 16:18

Page 8 du document évoqué :
"On lit souvent que les points L4 et L5 sont des points d'équilibre stable parce qu'on aurait là un minimum local de l'énergie potentielle, mais il n'y a aucun minimum local, ce sont des maxima d'énergie potentielle. Cependant, si k < 0,04, une masse placée en ces points peut y rester éternellement car dès qu'elle quitte le point , la force de Coriolis l'oblige à tourner et à rester au voisinage du point."
Tu dois connaître l'expression de la force d'inertie de Coriolis...
Une étude littérale rigoureuse du mouvement autour de L4 ou L5 sous l'action des quatre forces me paraît difficile. Peut-être en cherchant sur le net. Sinon, il est peut-être possible de tenter une simulation numérique ???

Posté par
Macair
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 19:29

Malheureusement la force de coriolis n'est pas au programme de sup...
Je pensais faire aussi une simulation numérique sur python ... Je vais appliquer le PFD avec les 4 forces, obtenir l'équation du mouvement et voir ensuite

Posté par
vanoise
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 22:32

Voici l'expression générale de la force de Coriolis. Ici le vecteur est égal à produit scalaire vecteur Uz.
Une fois trouvées les coordonnées des points de Lagrange, tu pourrais imaginer d'abandonner un objet de masse m en un point voisin sans vitesse initiale et de simuler son mouvement ultérieur pour voir si l'objet s'éloigne définitivement du point de Lagrange ou tourne autour.

Question demonstration point de Lagrange

Posté par
Macair
re : Question demonstration point de Lagrange 02-07-15 à 22:42

Très bien je vais voir ça ! Je vous tiens au courant en cas de difficulté.
Merci beaucoup

Posté par
michelle2015
A votre attention 02-08-15 à 22:05

Bonjour la communauté. J'ai une information à partager avec vous vu la joie qui m'anime.

Edit Coll : effacé

Merci de faire passer le message

Cordialement



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