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Niveau maths spé
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Réseau de diffraction

Posté par
Ystalio
09-06-15 à 11:08

Bonjour,

j'ai quelques difficultés à résoudre cet exercice :

Il s'agit comme le montre la figure d'un réseau de pas a, de largeur des fentes e<<\lambda la longueur d'onde des faisceaux.

La différence de marche entre deux trous successifs : \delta = asin(\theta)

On en déduit la différence de marche du n-ième trou par rapport à la fente 0 : \delta_{n}=nasin(\theta)

L'amplitude complexe totale de la lumière émise dans la direction \theta est donc :

A(\theta)=A_{0}\sum_{i=0}^{N} (e^{jun}) avec A_{0} l'amplitude complexe au trou 0
et u=\frac{2\pi}{\lambda}\delta

On a donc : A(\theta)=A_{0}\frac{1-e^{jNu}}{1-e^{ju}}

On place une lentille convergente après le réseau de focale f. On s'intéresse à l'éclairement émis à un point M sur l'axe x suivant la figure ci-dessous.

On a tan(\theta)=\frac{x}{f}

Par approximation des petits angles on trouve :
u=\frac{2\pi}{\lambda}a\frac{x}{f}

C'est à partir de là que je bloque.
Il m'est demandé de montrer, en considérant l'approximation des petits angles, que l'éclairement peut se mettre sous la forme suivante :

I(x)=I_{0}\frac{sin^{2}(\frac{Nkax}{2f})}{sin^{2}(\frac{kax}{2f})}

J'ai tenté de déterminer le module au carré de A(\theta) sans succès...

Posté par
Jouailleur
re : Réseau de diffraction 09-06-15 à 12:02

C'est pourtant à peu près immédiat en multipliant par l'amplitude conjuguée.

P.S. : 2 \sin^2 a = 1 - \cos 2a ...

Posté par
Ystalio
re : Réseau de diffraction 09-06-15 à 12:32

En effet...
Je me suis pris la tête pour rien en voulant faire plus simple... -.-'

Posté par
Ystalio
re : Réseau de diffraction 09-06-15 à 13:15

Je bloque de nouveau sur l'exercice...

On pose b=\frac{\lambda f}{a}

On en déduit alors la période T=b

Je dois ensuite représenter I(x) sur une période.
N étant un entier, les sinus vont se compenser pour tout x sauf pour x=kb avec k entier.

I(x) n'est donc pas défini pour ces valeurs non ?

On me demande les maximums de I(x). Mais pour moi du coup, I(x) est constant et vaut I0...

Ensuite il est demandé de donner les ordonnées y_{p}(\lambda) des maximums absolus d'éclairement sur l'écran à longueur d'onde donnée.
Je ne comprends pas vraiment...

Posté par
Jouailleur
re : Réseau de diffraction 09-06-15 à 14:16

Depuis quand \sin Na = \sin a ?

Concernant l'annulation du dénominateur pour x=nT on peut étudier ce qui se passe en x=0 (et généraliser par périodicité):

\sin\left(\frac{N\pi}{T} x\right) \sim_{0} \frac{N\pi}{T} x

et de même

\sin\left(\frac{N\pi}{T} x\right) \sim_{0} \frac{\pi}{T} x

D'où :

\frac{\sin\left(\frac{N\pi}{T} x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{T} x\right)} \rightarrow N quand x\to 0


Soit I(nT)=N^2 I_0, ce que l'on trouvait directement en utilisant l'expression de A sous forme de somme...



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