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Attraction d'un astéroïde A par la Terre

Posté par
Autobus
21-05-15 à 14:49

Bonjour

Un astéroïde de masse m = 1000 kg en provenance de l'"infini" est capturé par le champ gravitationnel de la Terre (masse M_T = 6.10^{24} kg, centre O supposé fixe). On suppose que l'astéroïde a une vitesse non nulle à l'infini V_{infini}. Sa trajectoire est une hyperbole dont l'asymptote passe à la distance b de O. On suppose que la Terre est fixe et on ne prend en compte que l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'astéroïde. On introduit \vec{r}=\vec{OA} où A est la position de l'astéroïde à un instant quelconque et la base orthonormée directe (\vec{u_r}, \vec{u_\theta}, \vec{u_z}). On appelle P le point de la trajectoire de l'astéroïde le plus proche de O (OP=rmin).

Voilà les questions et mes réponses ensuite et je voudrais savoir si c'est juste et ce qu'il y a à corriger. Je bloque sur certaines questions.

1. Exprimer la masse réduite du système (astéroïde-Terre). A quelle grandeur peut-elle être approximée ?
La masse réduite est =\dfrac{mM_T}{m+M_T}
Comme MT >> m, on pourrait négliger m, ainsi est du même ordre de grandeur que m (car on simplifie dans l'expression de les MT) donc de 10^3 kg.

2. Exprimer la force de gravitation \vec{F} exercée par la Terre sur l'astéroïde et l'énergie potentielle associée Ep(r) (on choisira Ep=0 à l'infini).

On a \vec{F}=-G\dfrac{M_Tm}{r^2}\vec{u_r} et son énergie potentielle associée est E(p)=-G\dfrac{M_Tm}{r} lorsque Ep=0 pris à l'infini.

3. a) Ecrire l'expression de la définition du moment cinétique \vec{J}(\vec{r}) de l'astéroïde par rapport à O en un point A quelconque de la trajectoire.

\vec{J}(r)=\vec{OA} \wedge \mu\vec{v}=r\vec{u_r} \wedge \mu r \dot{\theta}\vec{u_\theta}}=\mu r^2 \dot{\theta}\vec{u_z}=\mu r^2 \omega \vec{u_z}

b) En utilisant le théorème du moment cinétique, montrer que \vec{J}(\vec{r}) est conservé.

Le théorème du moment cinétique donne \vec{OA} \wedge \mu \vec{a} = r\vec{u_r} \wedge \vec{F} (je vous passe les calculs mais je peux les donner bien sûr)

F est la force exprimée à la question 2.
et a est la masse * l'accélération, soit la somme des forces extérieures, donc F

\vec{F} s'exprime en fonction de ur, donc le produit vectoriel ur par ur est nul, la dérivée du moment cinétique est nulle donc le moment cinétique est constant.

c) En déduire que le mouvement de l'astéroïde est plan.

Comme le moment cinétique est constant, J est perpendiculaire à la position et à la vitesse constante, donc contenu dans un plan perpendiculaire à la trajectoire. Donc cette dernière est plane.

4. a) Exprimer en coordonnées polaires la vitesse v(\vec{r}) de l'astéroïde en un point A quelconque de la trajectoire.

v(r)=\dot{r}\vec{u_r}+r\dot{\theta}\vec{u_{\theta}}=\dfrac{dr\vec{u_r}}{dt}

b) En déduire l'expression de \vec{J}(\vec{r}) en fonction, entre autres, de r et \dfrac{d\theta}{dt}.

J(r)= mr^2\dfrac{d\theta}{dt}\vec{u_z}
J'ai passé les calculs également sinon ça fait trop long avec le latex

c) Montrer qu'à l'infini \vec{J}(infini)=mbV_{infini}\vec{u_z}.

Alors là je ne vois pas du tout comment faire. Quelqu'un a une idée ?

d) Justifier qu'au point P la vitesse \vec{Vp} est perpendiculaire au rayon-vecteur \vec{OP}.
e) Exprimer le moment cinétique \vec{J}(\vec{rmin}) au point P.
f) En déduire l'expression de la vitesse Vp au point P en fonction de V_{infini}, rmin et b.


Je ne vois pas non plus pour ces trois questions

5. a) Exprimer l'énergie mécanique Em(r) en un point A quelconque de la trajectoire.
b) Calculer \dfrac{dEm}{dt} et en déduire que l'énergie mécanique Em est conservée au cours du mouvement.
c) Exprimer la valeur Em() lorsque l'astéroïde est à infini et Em(rmin) lorsqu'il est en P.
d) Le système astéroïde-Terre est-il dans un état lié dans un état lié ? Justifier la réponse.

6. Déduire des deux questions précédentes les expressions de V_{infini} et V_P en fonction de rmin et b (et autres constantes de l'exercice).

Je n'ai pas encore fait la question 5 et 6 pour que vous me corrigiez déjà ceci et m'aidiez à résoudre les questions non comprises.
Merci beaucoup!

Posté par
krinn Correcteur
re : Attraction d'un astéroïde A par la Terre 21-05-15 à 21:12

bonsoir,

si j'ai bien compris l'énoncé on a la situation suivante: (cf dessin)

c) le moment J(infini) est facile à calculer puisque Vinfini a quasiment la même direction que l'asymptote

d) il faut calculer V(P) en remarquant qu'en P r est minimal donc dr/dt = ...

Attraction d\'un astéroïde A par la Terre



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