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Exercice lois de Kepler

Posté par
tom-tom21 01-05-15 à 19:15

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur les lois de Kepler et j'aimerai faire vérifier mes réponses svp.

Voici l'énoncé :

La station spatiale internationale ISS est à ce jour le plus des objets artificiels en orbite terrestre à une altitude de 400 km.
La station ISS, est supposée ponctuelle et notée S, évolue sur une orbite assimilable à un mouvement circulaire et uniforme, dont le plan est incliné de 51.6° par rapport au plan de l'équateur.

Données :
Rayon de la terre : R = 6380 km
Masse de la station : m = 435 tonnes
Masse de la terre : M = 5.98*10^{24} kg
Constante de gravitation universelle : G = 6.67*10^{-11}  m^3.kg^{-1}.s^{-2}
Altitude de la station ISS : h = 400 km
Expression de l'intensité de la force d'interaction gravitationnelle F entre deux corps A et B ponctuels de masses respectives m_A  et  m_B distants de d = AB

F = G.\frac{m_A * m_B}{d^2}

Questions et mes réponses :

1/Représenter sur un schéma :

a) La terre et la station S supposée ponctuelle ainsi que les différents paramètres du problème.
b) Un vecteur unitaire \vec{u} orienté de la station S vers la Terre (T).
c) La force d'interaction gravitationnelle F exercée par la Terre sur la station S.

Ma réponse :

Exercice lois de Kepler

2/ Donner l'expression vectorielle de cette force en fonction du vecteur u.

Ma réponse :

F = (G.\frac{m * M}{d^2}) * \vec{u}

3/ En considérant la seule action de la Terre, établir l'expression vectorielle de l'accélération \vec{a}_S de la station dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen en fonction de G, M, h R et \vec{u}

Ma réponse :

D'après la 2eme loi de Newton on à :

\vec{F}_{T/S} = m * \vec{a}_S

Or on a :

\vec{F}_{T/S} = (G.\frac{m * M}{d^2}) * \vec{u}

Donc on a :

(G.\frac{m * M}{d^2}) * \vec{u} = m * \vec{a}_S

(G.\frac{M}{d^2}) * \vec{u} = \vec{a}_S          (Avec d = R+h)

(G.\frac{M}{(R+h)^2}) * \vec{u} = \vec{a}_S

4/a) Montrer que dans le cas d'un mouvement circulaire, la valeur de la vitesse du satellite de la station à pour expression :

v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}

Ma réponse :

L'accélération dans un mouvement circulaire de rayon R s'écrit sous la forme :

\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n

Où nous avons :

\vec{a}_t = \frac{dv}{dv}\vec{t}

\vec{a}_n = \frac{V^2}{d}\vec{n}

Par identification on a :

sur \vec{u} : \frac{G*M}{d^2} = \frac{V^2}{d}       (\vec{n} = \vec{u})    

sur \vec{t} : \frac{dv}{dv}\vec{t} \rightarrow v = constante

Ainsi on a alors :

\frac{G*M}{d^2} = \frac{V^2}{d}

\frac{G*M}{d} = V^2

\sqrt{\frac{G*M}{d}} = V

\sqrt{\frac{G*M}{R+h}} = V

b) Calculer la valeur de la vitesse en m/s.

Ma réponse :

V  =  \sqrt{\frac{(6.67*10^{-11})*(5.98*10^{24})}{(6380*10^3)+(400*10^3)}}  =  7670.1   m.s^{-1}

5/ Combien de révolutions autour de la Terre un astronaute présent à bord de la station fait-il en 24 heures ?

Ma réponse :

On sait que la vitesse V s'écrit :

V = \frac{2*\pi*d}{T}

V = \frac{2*\pi*(R+h)}{T}

T = \frac{2*\pi*(R+h)}{V}

T = \frac{2*\pi*((6380*10^3)+(400*10^3))}{7670.1}  =  5554 s = 1.54 h

Donc en 24 heures, l'astronaute fera :

\frac{24}{1.54} = 15 tours complet

6/ A partir de l'expression de V, retrouver l'expression de la troisième loi de Kepler :

\frac{T^2}{(R+h)^3} = \frac{4\pi^2}{G.M}

Ma réponse :

On a :

V = \frac{2\pi*d}{T}

et

V = \sqrt{\frac{G*M}{d}}

Donc on a :

\frac{2\pi*d}{T} = \sqrt{\frac{G*M}{d}}

(\frac{2\pi*d}{T})^2  =   \frac{G*M}{d}

\frac{4\pi^2*d^2}{T^2}  = \frac{G*M}{d}

\frac{T^2}{4\pi^2*d^2}  =  \frac{d}{G*M}

\frac{T^2}{d^3}  =  \frac{4\pi^2}{G*M}

\frac{T^2}{(R+h)^3}  =  \frac{4\pi^2}{G*M}

7/Quelle doit être la nouvelle altitude de révolution h' pour que la période de révolution de l'ISS soit multipliée par 2 ?

Ma réponse :

On sait que T = 5554 s
Et on veut que T = 5554*2 = 11108 s

On a :

T = \frac{2*\pi*(R+h')}{V}

11108 = \frac{2*\pi*(R+h')}{V}

11108*V = 2*\pi*(R+h')

\frac{11108*V}{2*\pi} = (R+h')

\frac{11108*V}{2*\pi} - R = h'

h' = \frac{11108*7670.1}{2*\pi} - 6380*10^3  =  7179916,9 m  =  7179,9 km

Posté par
Coll Moderateurre : Exercice lois de Kepler 01-05-15 à 21:00

Bonsoir,

La figure est vraiment fausse :
.\vec{F} et \vec{u} doivent être colinéaires et bien orientés vers le centre de la Terre
. le plan de l'orbite doit passer par le centre de la Terre (et donc l'angle de ce plan avec le plan de l'équateur doit être mesuré au centre de la Terre)
. l'altitude du satellite est la distance de ce satellite à la surface de la Terre (et non pas au plan de l'équateur)

2) D'accord

3) D'accord

4.a) Puisque la vitesse est uniforme dans ce mouvement circulaire, l'accélération tangentielle est nulle, tout simplement.

4.b) Oui

5) Environ 15 tours et demi par 24 heures

6) Oui

7) Non
La question 7 suit la question 6 (la vitesse ne reste pas constante, entre autres)

Posté par
Coll Moderateurre : Exercice lois de Kepler 02-05-15 à 07:45

Une ébauche de figure :

Exercice lois de Kepler

C est le centre de la Terre
E'E marque le plan de l'équateur
S représente la station ISS
T est un point à la surface de la Terre situé à la verticale de la station

En tiretés rouges : le plan de l'orbite de la station

La figure n'est pas du tout à l'échelle.
CT = rayon de la Terre (R = 6 380 km selon l'énoncé)
TS = altitude de la station (h = 400 km)
___________

Sur une figure semblable il faut placer les vecteurs \vec{u} et \vec{F} ; tu sais le faire.

Posté par
tom-tom21re : Exercice lois de Kepler 02-05-15 à 13:27

Bonjour,

merci d'avoir répondu aussi vite, vous êtes top !

du coup, par rapport aux corrections que je suis censé apporter, confirmez vous celle ci ?

Question 1 :
Les vecteurs u et F seront positionnés sur le trait en pointillés rouges (plan de l'orbite de la station sur votre schéma)

Question 7 :
Il faut utiliser la relation :

\frac{T^2}{(R+h)^3}  =  \frac{4\pi^2}{G*M}

Dans cette dernière il faut poser T = 11108 s
puis isoler h' qui vérifie la relation précédente

Posté par
tom-tom21re : Exercice lois de Kepler 02-05-15 à 13:29

PS : je préfère d'abord vous demander confirmation avant de démarrer tout calcul !

Posté par
tom-tom21re : Exercice lois de Kepler 02-05-15 à 14:49

J'ai déjà refais les calculs du coup.

Avec la méthode dont je parle deux messages plus haut, j'obtiens une nouvelle valeur d'altitude de :

h' = 4382496.2 m
h' = 4382,4962 km

Vous en pensez quoi ?
Est-ce juste maintenant ?

Posté par
Coll Moderateurre : Exercice lois de Kepler 02-05-15 à 16:21

J'en pense beaucoup de bien...
__________

\dfrac{T^2}{(R+h)^3} \; =\; \text{Constante}

donc

\dfrac{T_1^2}{(R+h)^3}\; =\; \dfrac{T_2^2}{(R+h')^3}
ou
(R+h')^3\;=\;(R+h)^3\times \dfrac{T_2^2}{T_1^2}

Si l'on souhaite T2 = 2.T1 alors \dfrac{T_2^2}{T_1^2}\;=\;4
et donc
(R+h')^3\;=\;4.(R+h)^3

avec
R = 6 380 km
h = 400 km
on calcule en effet h' 4 383 km

Posté par
tom-tom21re : Exercice lois de Kepler 02-05-15 à 16:43

Bon bah.... et bien merci beaucoup !
Vous m'avez beaucoup aidé, et je vous en suis reconnaissant !

Sinon, en fait cet exercice n'est qu'un seul des deux exercices d'un DM de physique que j'ai à faire.
Et évidement j'ai le deuxième exercice qui m'attends...

Si jamais vous avez du temps libre, venez jeter un coup d'œil :
https://www.ilephysique.net/sujet-exercice-enantiomeres-et-diastereoisomeres-275891.html#msg2295579

Bonne fin d'aprème à vous !

Posté par
Coll Moderateurre : Exercice lois de Kepler 02-05-15 à 18:22

Je t'en prie.
À une prochaine fois !


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