Niveau licence

Miroirs et réflexions successives

Posté par
Wimengo 20-04-15 à 21:56

Bonjour,

Dans un exercice que j'ai à traiter en optique ondulatoire j'ai un problème pour mettre en forme l'expression de mon intensité lumineuse comme demandé dans l'énoncé.

L'expression demandée est de la forme :

$I=\frac{I_{0}}{1+asin^{2}(\frac{\phi}{2})}$

Et le développement de mon calcul donne :

$I=AA^{*}$ avec $A=tA_{0}exp(\frac{2\pi jL}{\lambda})\sum_{k=0}^{\infty}(rexp(\frac{2\pi jL}{\lambda}))^{2k}$
donc $A=tA_{0}exp(\frac{-2\pi jL}{\lambda})\sum_{k=0}^{\infty}(rexp(\frac{-2\pi jL}{\lambda}))^{2k}$

Donc

$I=tA_{0}tA_{0}exp(\frac{2\pi jL}{\lambda})exp(\frac{-2\pi jL}{\lambda})\sum_{k=0}^{\infty}(rexp(\frac{2\pi jL}{\lambda}))^{2k}(rexp(\frac{-2\pi jL}{\lambda}))^{2k}$

et $\phi=\frac{2\pi L}{\lambda}$

$I=tA_{0}tA_{0}exp(\frac{2\pi jL}{\lambda})exp(\frac{-2\pi jL}{\lambda})\sum_{k=0}^{\infty}(r^{2}exp(\frac{\phi}{2}))^{k}(r^{2}exp(\frac{-\phi}{2}))^{k}$

soit

$I=t^{2}A_{0}^{2}\frac{exp(\frac{\phi}{2})exp(\frac{-\phi}{2})}{(1-r^{2}exp(j\phi))(1-r^{2}exp(-j\phi))}$

soit

$I=t^{2}A_{0}^{2}\frac{1}{(exp(\frac{-j\phi}{2})-r^{2}exp(\frac{j\phi}{2}))(exp(\frac{j\phi}{2})-r^{2}exp(\frac{-j\phi}{2}))}$

Sauf qu'à partir de là, j'ai beau développer le bas je n'arrive pas à faire apparaitre un sinus ou quelque chose comme demandé, sachant que le terme "a" est à déterminer.

Si vous pouviez m'aider je vous en serez très reconnaissant.

Posté par re : Miroirs et réflexions successives 20-04-15 à 22:05

serais*

Posté par re : Miroirs et réflexions successives 20-04-15 à 22:12

J'ai été trop vite pour la troisième expression de I en partant de la fin c'est

$I=tA_{0}tA_{0}exp(\frac{2\pi jL}{\lambda})exp(\frac{-2\pi jL}{\lambda})\sum_{k=0}^{\infty}(r^{2}exp(j\phi))^{k}(r^{2}exp(-j\phi))^{k}$

Posté par re : Miroirs et réflexions successives 21-04-15 à 10:38

Bonjour,

Je ne sais pas si ça va beaucoup t'aider mais le dénominateur de la dernière fraction peut s'écrire, en supposant que ton développement est correct, successivement:

$(e^{-\dfrac{j\phi}{2}}-r^2e^{\dfrac{j\phi}{2}})(e^{\dfrac{j\phi}{2}}-r^2e^{-\dfrac{j\phi}{2}})$

En distribuant $~~1-r^2e^{j\phi}-r^2e^{-j\phi}+r^4~~soit~~r^4-r^2(e^{j\phi}+e^{-j\phi})+1=r^4-2r^2cos(\phi)+1$

Or $cos(\phi)=1-2sin^2(\dfrac{\phi}{2})$

D'où en injectant dans l'expression ci-dessus $~~r^4-2r^2[1-2sin^2(\dfrac{\phi}{2})]+1$

Posté par re : Miroirs et réflexions successives 21-04-15 à 11:36

Je trouve comme Pirho ... et je poursuis.

r^4 - 2r²[1 - 2sin²(Phi/2)] + 1
= r^4 - 2r² + 1 + 4r².sin²(Phi/2)
= (r²-1)² + 4r².sin²(Phi/2)
= (r²-1)² * (1 + (2r/(r²-1))².sin²(Phi/2))

--> I = t².Ao²/[(r²-1)² * (1 + (2r/(r²-1))².sin²(Phi/2))]

I = (t.Ao/(r²-1))²/(1 + (2r/(r²-1))².sin²(Phi/2))

On a I = Io/(1 + a.sin²(Phi/2) avec :
Io = (t.Ao/(r²-1))² et a = (2r/(r²-1))²

... Je ne sais pas trop ce que t est et fait là dedans ?
-----
Sauf distraction.

Posté par Réponse 21-04-15 à 19:04

Au final j'ai réussi à tout développer et en fait t et r sont les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de l'onde.

*** message déplacé ***

Posté par re : Miroirs et réflexions successives 21-04-15 à 19:06

En fait j'ai réussi à tout développer, en fait t et r sont les coefficients de transmission et de réflexion en amplitude

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