Bonsoir TheoNott,

vu l'heure je te donne les réponses à la question 1a et une description de la courbe demandée en 1b. Le reste viendra demain, à moins qu'un autre correcteur ne prenne le relais.

Etape 1 : est portée au potentiel V₀ : elle va prendre la charge Q = 4₀RV₀.

Etape 2 : est isolée : elle va garder cette charge Q, mais son potentiel V₁, qui n'est plus fixé, peut varier en présence d'un autre conducteur.

Etape 3 : on entoure d'une sphère creuse ' de rayons int et ext R'₁ et R'₂, initialement neutre et isolée : puis qu'elle est neutre c'est qu'elle ne porte pas de charge,  puisqu'elle est isolée, sa charge restera nulle. Mais pas en tout point... A l'intérieur de ' la charge est bien nulle (conducteur métallique) ; sur les faces interne et externe de ' vont apparaître des charges vont la somme sera nulle (cf étape 2).
En appliquant le th de Gauss à une surface sphérique de rayon r compris entre R₁ et R'₁ (donc à l'intérieur de '), la nullité du champ électrique impose que la face interne de ' va prendre la charge -Q, et la face externe la charge +Q.

On applique maintenant le théorème de Gauss en prenant comme surface d'intégration une sphère de rayon r, et en faisant varier r pour explorer les quatre domaines possibles (r > R'₂, entre R'₁ et R'₂, entre R et R'₁ et < R). On part des grandes valeurs (r > R'₂) pour progresser "à reculons", càd vers l'intérieur de .

*  r > R'₂ : E(r) = Q/(4₀r²), V(r) = Q/(4₀r) (avec V = 0 pour r infini).
Donc pour r = R'₂, on obtient le potentiel de ' : V'₁ = Q/(4₀R'₂) = V₀.R/R'₂.

*  R'₁ < r < R'₂ : E = 0 donc V(r) = cste = V'₁.

*  R < r < R'1 : E = Q/(4₀r²) soit V(r) = Q/(4₀r) + Cste.
Avec V = V'₁ quand r = R'₁, la constante vaut V₀R(1/R'₂ - 1/R'₁). Il est important de remarquer que cette constante est négative.
Donc dans cette région, V(r) = V₀R(1/r + 1/R'₂ - 1/R'₁).

*  r < R : E = 0 soit V(r) = cste = V₁ = V(r = R). Donc V₁ = V₀R(1/R + 1/R'₂ - 1/R'₁).

La remarque précédente montre que la parenthèse est < que 1/R, donc que V'₁ est < V₀. Contrairement à ce que tu avais écrit dans ton post, le potentiel de n'est pas resté constant : il a diminué, tandis que celui de ', initialement nul, a augmenté (V'₁ > 0).

Si ce n'est pas déjà fait dans ton cours, tu verras que l'énergie d'un conducteur portant la charge Q et élevé au potentiel V vaut vaut (1/2)QV : à charge constante, cette énergie est donc proportionnelle à son potentiel V. Or et ' étaient initialement sans charge et le sont restées. Pour évaluer l'énergie de chacun de ces conducteurs il suffit de regarder l'évolution de leur potentiel. ', initialement neutre de potentiel nul, a gagné de l'énergie (V'₁ > 0) ; a vu son potentiel chuter a perdu de l'énergie.
Conclusion : a fourni de l'énergie à ', celle-ci ayant été utilisée pour déplacer les charges présentes sur ' vers les deux faces interne et externe.  OK ?

1b)  dans les régions hors conducteurs (points 1 et 3 ci-dessus), V(r) est une hyperbole ; dans chacun des conducteurs (points 2 t 4), V(r) est constant. L'évolution de V avec r est donc formée de deux hyperboles reliées par de segments horizontaux.

La courbe et la réponse à la question 2 ?  demain...

Bonjour TheoNott,

pas de réaction de ta part après mon corrigé du début de ton exercice : est-ce que celui-ci t'intéresse toujours ?  Prbebo.

Bonjour,

Désolé du retard, j'ai eu une longue journée hier et je n'ai pas eu le temps de passer sur l'ordinateur ^^

En tout cas, merci beaucoup pour la première partie. ça m'a permit de bien saisir le problème et la façon de le résoudre. Et coup de chance, je suis tombé en khôlle sur une partie ! ^^ J'ai pu aussi comprendre la méthode que mon prof a utilisé.

Donc juste pour voir si j'ai bien compris, pour la 2ème question (La sphère (') est reliée au sol (son potentiel est donc nul). Déterminer le potentiel V2 de () en fonction de Vo, R et R'1.)

Je viens de faire le schéma (première image)

Donc on relie la seconde sphère au sol, son potentiel devient nul, V'2 = 0 et la charge portée sur l'armature extérieure devient nul. (C'est un raisonnement au limite, c'est ça ? Comme le potentiel en V'2 = 0, que le potentiel extérieur à la sphère est nul aussi (qu'en +, le potentiel est nulle), on a Qext = 0 ?)

Puis on calcul le potentiel V2 de la même façon que précédemment :

Pour r compris entre R et R'1 :

V(r) = Q/(4₀r) + K

D'où on détermine K V(R'1) = V'2 = 0 = Q/(4₀R'1) + K

D'où K = -Q/(4₀R'1)

Et d'où V(R) = V2 = V₀R/(1/R - 1/R'1)

Là, le potentiel V2 < V1. Dans ce cas-là, la sphère 1 a fourni de l'énergie pour seulement déplacer les charges interne de la seconde sphère ?

Pour la troisième question : "3) La sphère (') est de nouveau isolée, puis la sphère () est mise en communication avec le sol. Calculer la charge q de () et le potentiel V'2 de (') en fonction de Vo, R, R'1 et R'2. "

Donc j'ai fait un schéma aussi (deuxième image)

Pour vérifier le raisonnement : On isole la sphère 2 ,puis on branche la première sphère à la masse, son potentiel V2 devient nul, comme le potentiel V'2 n'est pas nul, il y a une charge résiduel q < Q sur la sphère.

Le potentiel V'2 = q/(4₀R'2) = V(R'1)

Hum... Euh... Donc il faut déterminer q. Je pense à utiliser le théorème de Coulomb, pour dire que E(R'2) = /₀ = q/(4₀(R'2)²)

Avec ça on pourrait déterminer q en fonction de . Mais vu qu'on ne connait pas c'est un peu le serpent qui se mord la queue...

Je le redis, mais vraiment merci pour l'exercice ^^

Bonsoir Theonott,

bon je suis rassuré par ta réponse, car il arrive que des élèves nouvellement inscrits déposent un pb sur le forum, puis ne se manifestent plus ensuite.

Il y a des bonnes choses dans ta réponse, et aussi quelques mauvaises. On va reprendre ça tranquillement demain (après-midi, car le matin je fais du soutien scolaire chez des particuliers).

L'explication sera plus rapide et plus claire si on utilise les coefficients de capacité et d'influence. D'où une question, qui me permettra d'ajuster ma réponse en fonction de la tienne : as-tu, en cours, entendu parler de ces coefficients ?

A demain.

Bonjour,

Je comprends ^^ Mais ce ne sera pas mon cas, j'apprécie beaucoup la physique donc j'essaye de travailler cette matière un maximum ^^

Oui j'ai vu les coefficients de capacité et d'influence.

Bonjour TheoNott,

tout d'abord excuse-moi de venir sue le forum que seulement maintenant : une urgence familiale m'en a empêché.

Je confirme l'exactitude de tes réponses concernant la deuxième question : en effet la charge extérieure à ' va s'écouler dans le sol, alors que celle placée sur la face interne reste "collée" par l'influence de . Elle vaut donc -Q. En appliquant le th de Gauss entre R et R'₁ sachant que pour r = R'₁ on a V = 0, on trouve facilement le nouveau potentiel de : V₂ = V₀R(1/R - 1/R'). Premier schéma OK.

Je vois que tu as fait des progrès depuis ton premier post, celui avec l'énoncé (le prof qui t'& fait passer la colle, sans doute...). La question que tu te posais, " je me posais la question : si je relie la sphère au sol, son potentiel devient nul, mais elle perd aussi ses charges, non ?", ne dois plus te poser de probleme : il faut savoir que lorsque deux (ou plus) conducteurs sont placés au voisinage l'un de l'autre, l'état électrique de chacun dépend non seulement de leurs charges et potentiels propres, mais aussi des charges et potentiels du ou des voisins. Ce phénomène est dû à l'influence électrostatique.

Pour la question 3 :

" il y a une charge résiduel q < Q sur la sphère ." Exact : cette charge q sera positive et < Q puisque ce conducteur va perdre des charges (mais il ne perd pas tout, tjs à cause de l'influence).

En revanche ton deuxième schéma est faux car ' contient des charges, celles qui étaient réparties sur sa face interne à la question 2, cad -Q.

Il faut que tu saisisses bien que l'ordre dans lequel on fait les opérations est primordial :
On part de l'état étudié dans la question 2 et clairement décrit dans ton premier schéma. Puis :
a) on enlève la liaison entre ' et le sol. Jusque là, rien de changé car ce fil n'était parcouru par aucun courant (les charges externes de ' se sont barrées depuis longtemps...) donc l'état électrique de ' reste celui-ci : -Q sur la face interne, rien sur l'autre, et son potentiel nul.
b) on met, seulement maintenant, au sol : son potentiel devient nul, sa charge va varier (q < Q). Quant à ' qui est redevenu isolé, sa charge reste -Q. Mais elle ne va pas rester entièrement sur la face interne ! seule une quantité égale à -q va y rester (tjs influence totale) ; le reste va aller sur la face externe, et comme il s'agit de charges négatives le potentiel V'₂ de ' va devenir négatif.

L'état électrique des deux conducteurs à l'issue de ces deux opérations est le suivant :

Pour : charge q inconnue, potentiel nul ;
Pour ' : charge totale -Q (répartie en -q et q-Q sur chaque face), potentiel V'2 inconnu.

Il est commode pour une fois d'appliquer Gauss en partant du conducteur de potentiel connu, cad :
pour R < r < R'₁, V(r) = K.q/r + C (je note 1/(4₀ = K ppir gagner du temps), C est tel que pour r = R V = 0, soit V(r) = K.q(1/r - 1/R) dans cette région.
Pour r = R'₁, on obtient V'₂ = K;q(1/R'¹ - 1/R), soit une première relation entre les inconnues q et V'₂.

l'autre relation sera obtenue en appliquant Gauss à l'extérieur du système :
Pour r > R'2 on obtient V(r) = K.(q-Q)/r + rien car le potentiel est tjs nul à l'infini. En faisant r = R'₂ on en tire V'₂ = K.(q - Q)/R'₂. D'où la deuxième relation entre les deux inconnues.

Le reste n'est plus que du bête calcul. Si je me suis pas trompé on obtient q = Q / [1 + R'₂(1/R - 1/R'₁)] et V'₂ = V₀.(R/R'₁ - 1) /[1 + R'₂/R - R'₂/R'₁].

Tu vérifieras (je l'ai fait) que q est bien positif et que V'₂ est négatif. En partant de l'infini, le potentiel qui y est nul décroît donc jusqu'à V'₂, reste constant à l'intérieur de ', puis augmente pour retrouver une valeur nulle sur .

Si tu as bien tout suivi, tu as dû remarquer qu'à chaque nouvelle question on réutilise le th de Gauss... Je pense sincèrement qu'un tel exo gagnerait en clarté si on déterminant d'entrée les coefficients de capacité et d'influence de ce système de conducteurs. Tu dis les avoir vus en cours donc je n'y reviens pas, le cas échéant tu peux consulter ce site très bien fait : .

Je te joins des copies d'écran d'un document doc que j'ai rédigé il y a quelque temps pour un utilisateur du forum. Je l'avais tapé en word et bien m'en a pris, car je peux le réutiliser maintenant. Il te faudra faire l'effort de te familiariser avec de nouvelles notations, car je trouve que celles de ton exo ne sont pas pratiques (dans tous les cours l'indice 1, 2 etc désigne les conducteurs et les états successifs sont repérés par V; V', V" etc... ton prof a fait l'inverse). Les rayons intérieur et extérieur des hémisphères sont notés R₂ et R₃. Je n'ai pas voulu adapter mon document aux notations de ton énoncé (trop long !) ; en revanche dans la dernière image je te propose un tableau qui, lorsque les coefficients d'influence et de capacité sont établis, permet de traiter très vite ce genre de problème. Ce tableau correespond à ton exercice.

Bonne lecture, et si tu as des questions n'hésite pas.

BB.

On ne peut pas mettre plus de trois images par post... voici donc les deux dernières.

Dans le tableau : en bleu ce qu'on connaît, en rouge ce qu'on cherche. Bien pratique pour retrouver ce qu'on doit calculer, et en fonction de quoi !
Je te laisse vérifier que les résultats donnés dans la dernière ligne sont bien ceux donnés dans mon post précédent.

Bonjour TheoNott

à ma suggestion "il arrive que des élèves nouvellement inscrits déposent un pb sur le forum, puis ne se manifestent plus ensuite", tu as répondu "ce ne sera pas mon cas, j'apprécie beaucoup la physique donc j'essaye de travailler cette matière un maximum".

Alors, à propos de ton exercice d'électrostatique, que penses-tu de mon long corrigé posté le 11 janvier dernier ?  BB.

Bonjour,

Désolé du temps de réponse, j'ai eu besoin de faire un break.

Vraiment merci pour le corrigé. C'est pas quelque chose qu'on a vraiment utilisé en cours. Et je viens de voir que c'est sacrément intéressant. Je viens de le refaire sur mon brouillon et ça fonctionne.

Si j'ai bien compris, on doit déterminer les coefficients d'influences et de capacités en premier en partant d'un cas où la sphère 1 est chargé à Q1 et au potentiel V1, puis la sphère 2 est chargé à Q2 et au potentiel V2, puis on analyse les différentes étapes ?

Pour la première étape, j'ai C₁₁ = C = -C₁₂ et C₁₂ = C₂₁, d'où C₂₂V₂ = C₁₁V₁, là dessus, ça marche. (Pareil pour V1 - V2 = Q/C)

Pour la seconde étape, j'ai utilisé les mêmes formules qu'auparavant, V₁ - V₂ = Q/C, V₂ = 0 d'où V₁ = Q/C.

Et pour la troisième étape, je suis bien retombé sur le résultat. Sauf pour V₂, où j'ai V₂ = -Q/C₂₂.

Ah, bonjour TheoNott,

si ce n'est qu'un break ce n'est pas grave. Mon précédent message était motivé par le fait qu'après avoir traité entièrement ton exercice dans mon post du 11/01 je n'avais plus de nouvelles (le texte en doc existait déjà et je n'ai eu qu'à l'adapter à ton énoncé, mais pour celui que j'ai tapé directement sur le forum... hard job !).

A ta question "Si j'ai bien compris, on doit déterminer les coefficients d'influences et de capacités en premier en partant d'un cas où la sphère 1 est chargé à Q1 et au potentiel V1, puis la sphère 2 est chargé à Q2 et au potentiel V2, puis on analyse les différentes étapes ? " : je ne suis pas d'accord sur le puis : il faut plutôt écrire "la sphère 1 est chargée à Q1 et se trouve au potentiel V1, et la sphère 2 est chargée à Q2 et se trouve au potentiel V2. Ces deux opérations ne se succèdent pas dans le temps, mais doivent être réalisées simultanément.

En effet, ce que je reproche à l'enseignant qui a posé ce problème, c'est qu'à aucun moment il n'a demandé de calculer les coefficients de capacité et d'influence des deux sphères ; résultat, pour chacune des trois questions il faut repartir du théorème de Gauss (un peu lassant à la longue...). Alors que lorsque l'expression de ces coefficients est établie, il ne reste plus qu'à adapter les relations liant Q1, Q2, V1 et V2 à la situation proposée dans chaque question : en général pour chacun des conducteurs on connaît soit le potentiel - et il faut trouver la charge -, soit la charge - et il faut trouver le potentiel - ; on se trouve alors dans chaque cas avec un système de deux équations à deux inconnues, pas trop dur à résoudre. C'est bien plus élégant comme démarche que de ressortir Gauss à chaque fois, moi je trouve.

Concernant ta remarque "Sauf pour V2, où j'ai V2 = -Q/C22." : Aie pour moi, car Q est positive (c'est la charge de la question 1, C22 aussi (les coefficients de capacité sont toujours positifs) et le potentiel V2 de la sphère 2 à la question 3 doit être négatif je ne sais plus pourquoi là maintenant, mais ça va me revenir). Donc j'ai probablement fait une erreur de signe. Les expressions des coefficients (cf les relations encadrées en bleu) sont exactes.

Je vais donc, dans l'ordre chronologique :
1) prendre un petit apéro puis dîner ;
2) vérifier mes calculs ou les refaire.

Je te tiens au courant soit ce soir soit demain.

A+,  BB.

coucou me revoilou,

bon, c'est net, je me suis planté dans la question 3 :

A l'issue de la question 2, la sphère 2 qui possédait la charge -Q la conserve, et son potentiel devient V₂ inconnu ; la sphère 1 qui est mise au sol passe au potentiel 0, et sa charge devient q inconnue.

les relations matricielles [Q] = [C].[V] s'écrivent alors :

q = C.(0 - V₂)    et  -Q = C₂₂.V₂.

La seconde donne V₂ = - Q/C₂₂, négative car Q = 4₀V₀ la charge initiale sur S₁, est positive, et C₂₂ aussi.

La première conduit alors à q = -C.V22 = Q.C / (C + 4₀R₃), positive et plus petite que Q (normal : S₁ a perdu de la charge, mais pas tout).

Ci-dessous le tableau d'avancement dont j'ai corrigé la dernière ligne, et l'évolution du potentiel V(r) à l'issue de la question 3;

Sorry pour l'erreur de signe...  BB.

Salut, je profite que mon bus ne soit pas passé pour répondre !

Je ne sais pas pourquoi j'ai écris puis, en fait. C'était un et dans ma tête xD

D'accord, ça marche. Merci encore ! J'ai, je pense, bien compris l'exercice. J'en ai trouvé un autre du même type (trois sphères chargés) je vais le faire pour voir si tout va bien ^^

Hello you too,

OK pour cet exercice. Et concernant trois sphères chargées, j'ai ce qu'il faut aussi (trois sphères emboîtées l'une dans l'autre, ou bien trois petites sphères placées aux sommets d'un triangle équilatéral). Ton exo sur la sonde lunaire est également terminé.

Bonne journée et à bientôt.  BB.

Hey !

Je vais faire celui avec trois sphères emboîtées l'une dans l'autre pour le moment. J'avait fait un exo avec des charges ponctuels (q > 0 pour deux sommets et négatif -q pour le dernier) aux sommets d'un triangle équilatéral, j'essaierai en remplaçant avec les sphères. Mais je vais laisser ça pour les prochaines vacances, j'ai vraiment dû mal avec la chimie en ce moment, je vais me concentrer sur ça... (et sur la magnétostatique, mais ça va pour le moment là-dessus. Juste faire des exercices de calcul de champ et revoir comment définir le vecteur densité de courant dans une matière aussi)

Merci ! Même si je réponds un peu tard xD Bon fin de week-end ! Et encore merci pour l'exercice !