Niveau terminale

Période T

Posté par
Boal 14-12-14 à 15:24

Bonjour encore une petite question (désolé d'ouvrir des sujets pour une simple question... ^^)

J'essaye de retrouver la 1ère expression de l'image, mais quelque chose me bloque :

Je suppose que le v au dénominateur vient de l'expression : v = GM/R+h

Mais donc quand on veut isoler T de la 3ème loi de Kepler on fait passer le (R+z)³ de l'autre côté ce qui nous donne pas l'expression de la vitesse à cause du cube...

Je ne sais pas si c'est clair... Pour faire plus simple quelqu'un pourrait-il m'expliquer d'où vient la première expression ?

Période T

Posté par re : Période T 14-12-14 à 16:02

Hello :

On a $F=G\frac{Mm}{(z+R)^2}$

Et d'après la 2ème loi, tu as $F=ma$

Mais lors d'une force centrale : $a=\frac{v^2}{z+R}$

Donc : $G\frac{Mm}{(z+R)^2}=m\frac{v^2}{z+R}$

Soit encore $v^2=G\frac{M}{R+z}$

Mais tu sais que $v=(R+z)\omega$ où $\omega$ est la vitesse angulaire. Et $\omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T}$

Ainsi : $(R+z)^2\frac{4\pi^2}{T^2}=G\frac{M}{R+z}$

Et donc $\frac{T^2}{(R+z)^3}=\frac{4\pi^2}{MG}$

Et ta première expression est fausse. A gauche, tu as T (un temps), et à droite, tu as une distance divisée par une fréquence (des m.s)... Il y a un problème de dimension. A moins que ton "nu" soit un "v", et dans ce cas, j'ai donné la démonstration un peu plus haut : v=(R+z)2/T donc T=2(R+z)/v.

Posté par re : Période T 14-12-14 à 16:05

Ok ! Fallait faire intervenir la vitesse angulaire !

Merci beaucoup et oui en effet c'est un "v" !

Bye et bonne après midi !

Posté par re : Période T 14-12-14 à 16:10

Bonne après midi !

Posté par periode T 14-12-14 à 16:14

Bonjour Boat,

"première expression de l'image", lorsqu'il n'y a pas d'image... ton énoncé n'est pas très clair. Alors je te rappelle simplement comment on retrouve rapidement la troisième loi de Kepler (T² proportionnel à r³), mais ces quelques lignes sont dans ton manuel et tu ferais bien d'y retourner :

J'appelle r la distance entre le satellite et le centre de la Terre (le g₀ de ta formule me laisse supposer que c'est la Terre qui joue le rôle du centre attracteur). On posera r = R + z à la fin du calcul.

Rappel de l'expression de la force gravitationnelle : F = GMm/r², G = cse, M masse de la Terre, m celle du satellite. F est dirigée du satellite vers le centre de la Terre. En faisant r = R (corps sue la surface terrestre on obtient F = mg₀ (poids de la masse m soit GM = g₀.R².

Vitesse du satellite sur son orbite circulaire de rayon r : l'accélération normale est v²/r et elle vaut GM/r², soit v = (GM/r).

Période de la rotation : T = trajet parcouru en une révolution / vitesse, soit T = 2r/v.
On obtient donc T = 2r(r/GM) = 2(r³/GM).
En élevant au carré, T² = (4²/GM).r³ =K.r³ avec K = 4²/GM : c'est la troisième loi de Kepler.

En remplaçant GM par g₀.R² et r par R + z, on obtient bien T³ = (4²/g₀.R²).(R+z)³.

Est-ce que ce résultat te convient ?

Posté par periode T 14-12-14 à 16:18

Ah, j'arrive comme les carabiniers, càd bon dernier ! Bonjour TheBartov

je vois qu'on s'est collés tous les deux sur la même démonstration... Boal, tu n'as plus aucune excuse pour ne pas comprendre la troisième loi de Kepler.

A bientôt. BB.

Posté par re : Période T 14-12-14 à 16:20

Il a meme deux approches différentes ! Il en a de la chance ! XD

Bonne fin de weekend les gens !

Posté par p 14-12-14 à 16:23

PS : je n'ai pas utilisé la vitesse angulaire car il y a des élèves de terminale qui ont encore des difficultés de compréhension à propos de cette notion (voir posts récents sur le forum). Mais bien entendu, remplacer par v/r, ça revient au même.

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