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Exercice d'électrostatique

Posté par
allie96
28-11-14 à 19:12

Bonjour,

Je suis face à un gros problème de compréhension d'un exercice d'électrostatique

Voici l'énoncé :  

On considère deux sphères de centre O et de rayon R1 et R2>R1 portant respectivement les charges électriques Q1 et Q2. Ces charges sont uniformément réparties en surface et les densité de charges correspondantes valent 1= et 2=-2 avec >0. En dehors des deux sphères, l'espace est vide de charge et sa permittivité relative vaut r=1. Champ et potentiel électrostatique seront calculés en un point M situé à une distance r du point O.

Et voici la question :

Exprimer à l'aide du théorème de Gauss le module du vecteur champ électrique E(M) pour r<R1.

Et voici mon problème : si je ne me suis pas trompée on choisit comme surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon r. Or il y a marqué dans mon cours que le champ est celui créé en un point M par toutes les charges présentes aussi bien intérieures qu'extérieures à S mais que la charge Qint est la charge contenue à l'intérieur de S. Or comme dans mon exercice on me donne une densité surfacique de charge, j'ai compris (c'est peut être la que j'ai tort) que  la sphère porte des charges uniquement sur sa surface. Donc si mon point M est à une distance inférieure au rayon du centre O est ce qu'il ne devrait pas y avoir une charge Qint nulle et donc un champ égal au vecteur nul

Voilà j'espère que quelqu'un aura le temps de m'aider. Merci d'avance !

Posté par
prbebo
Exercice d'électrostatique 30-11-14 à 14:20

Bonjour Allie96,

voici une réponse rapide à tes questions :

Oui, on prend comme surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon r, où r varie depuis 0 jusque l'infini. Le flux de E à travers la surface de Gauss est alors Phi = 4r2.E(r).

Oui il s'agit bien de deux répartitions superficielles de charges, l'une sur la sphère de rayon R1 avec la densité , ce qui donne Q1 = 4R12, et l'autre de densité superficielle -2 répartie sur la sphère de rayon R2, soit Q2 = - 8R22.  OK ?

Trois cas sont à envisager :

a) r < R1 :
la sphère de Gauss n'enferme aucune charge (Qint = 0 donc) ce qui fournit E(r) = 0  dans cette zone (ta réponses est exacte).

b)  R1 < r < R2 :
Qint = Q1 soit E(r) = Q1/(40r2).

c)  r > R2 :
Qint = Q1 + Q2 (attention aux signes), soit E(r) = (Q1+Q2)/(40r2).

Attention, aux interfaces (r = R1 et r = R2) le champ n'est pas continu.

Voilà, je n'ai pas le temps de te répondre plus en détail maintenant car je suis sur un autre exercice d'électrostatique. Plutôt en fin d'après-midi, à moins qu'un autre correcteur reprenne le flambeau (picard, si tu passes dans le coin... ça m'arrangerait bien !).

Bon courage.

Posté par
allie96
re : Exercice d'électrostatique 30-11-14 à 18:50

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse !

D'accord j'ai mieux compris ça me paraissait très étrange d'avoir un champ nul alors qu'il y a des charges à proximité du point mais je suis rassurée si j'avais quand même correctement appliqué le théorème de Gauss

Et vous avez anticipé la suite de l'exercice puisque les questions suivantes étaient de déterminer l'expression du champ pour R1<r<R2 et pour r>R2. Du coup pour ces questions pas de problème j'ai bien compris vos explications et j'ai réussi à les faire. J'ai trouvé :
Pour R1<r<R2 E(M) = (R12)/(0r2)
Pour r>R2 E(M) =((R12)/(0r2)) *(1-2(R2/R1)2).

Du coup j'ai continué l'exo mais je bloque sur la suite donc si vous aviez encore un tout petit peu de temps pour m'aider ce serait super et sinon ce n'est pas grave j'ai déjà beaucoup mieux compris !

Ensuite il est demandé de calculer le potentiel électrostatique V(M) pour r>R2.
J'ai utilisé la formule E = (-dV)/dr (à partir de vecteur E = -grad (V) et j'ai trouvé V(M) = (/(0r))*(R12-2R22)

Et ensuite je suis bloquée sur les deux dernières questions, qui sont : "Sachant que le potentiel électrostatique est une fonction continue, calculer V(M) pour R1<r<R2" et "En déduire l'expression du potentiel V(M) pour rR1.

Voilà en fait je n'arrive pas à utiliser l'info qui dit que le potentiel électrostatique est une fonction continue donc du coup je ne sais pas du tout comment faire

Posté par
prbebo
Exercice d'électrostatique 30-11-14 à 19:02

C'est tout simplement parce que tu as obtenu le potentiel en prenant la primitive de la norme du champ (ça c'est bien), mais tu as oublié la constante d'intégration (et ça, c'est pas bien... !). Le potentiel étant continu, à la traversée de chaque surface tu dois obtenir la même expression de chaque côté : cela donne une relation entre les constantes d'intégration obtenues de chaque côté de chaque surface chargée.

Pour appliquer ce raisonnement on procède "à reculons", càd en commençant par se placer dans la région r > R2. Sachant que par convention on prend le potentiel nul à l'infini (chaque fois que c'est possible, et c'est le cas ici), on détermine la constante d'intégration dans cette région : pas dur, elle est nulle.
Ensuite on se place dans la région R1 < r < R2 et on ajuste la constante pour avoir la continuité du potentiel quand r R2, par valeurs supérieures puis inférieures.
Et ainsi de suite pour arriver en O. Dans la région r < R1, E = 0 donc V est constant...

Normalement tu devrais maintenant t'en sortir toute seule.

BB.

Posté par
allie96
re : Exercice d'électrostatique 01-12-14 à 08:45

Bonjour,

J'ai essayé de faire les calculs hier mais ça ne voulait pas et malheureusement ça ne veut toujours pas ce matin

Si j'ai bien compris vos explications je me place en R1<r<R2 et je pose V(M)= - E r + cste. Or j'ai trouvé un champ E (M) = (R12)/(0r2) ce qui me donne V(M) = -(R12)/(0r) + cste.

Ensuite je dis que quand rR2 je dois avoir cette expression du potentiel pour R1<r<R2 qui doit être égale à celle que j'ai trouvé pour r>R2, c'est à dire V(M) = (()/(0r))*(R12-2R22).

Du coup j'ai remplacé r par R2 dans l'expression des 2 potentiels ce qui me donne :

(-R12)/(0R2) + cste = (()/(0R2))*(R12 - 2R22).

D'où une constante qui vaudrait ((2)/(0R2))*(R12-R22).

Et je pense que je me suis forcément trompée quelque part parce que je trouve un potentiel qui vaut

V(M) = (/0)*((-R12/r)+((2/R2)*(R12-R22))

et ça ne correspond pas du tout aux propositions du QCM

Du coup je pense que j'ai du mal comprendre vos explications parce que je n'ai pas vraiment obtenu de relation entre les constantes de chaque côté de la surface chargée ...

En tout cas merci encore pour votre aide d'hier !

Posté par
prbebo
Exercice d'électrostatique 01-12-14 à 12:26

Bonjour Allie96,

je veux bien te donner les réponses à ton exercice, mais je peux pas le faire directement ici, car taper des formules sur le forum est une vraie galère pour moi. Je suis en train d'achever un document (word ou pdf) qui contient les résultats demandés. Si tu veux le recevoir, contacte-moi sur mon adresse de messagerie (voir mon profil) ; bien entendu, pour ne pas léser ceux qui plus tard consulteront ton topic, j'en ferai des images que j'espère lisibles et que je placerai ici à la suite de ce message (sans doute ce soir).

A bientôt,  BB.

Posté par
prbebo
Exercice d'électrostatique 01-12-14 à 15:27

voici les copies d'écran de mon corrigé. Je vais essayer de mettre les quatre images gif en une seule fois...

Exercice d\'électrostatique

Exercice d\'électrostatique

Posté par
prbebo
Exercice d'électrostatique 01-12-14 à 15:28

Bon OK, en deux fois...

Exercice d\'électrostatique

Exercice d\'électrostatique



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