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Niveau maths sup
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Mécanique : mouvement rectiligne

Posté par
frenet
24-11-14 à 21:30

Bonsoir,

Je bloque sur une question sûrement un peu bête... si quelqu'un pourrait me débloquer ça serait sympa

Tout d'abord voici l'énoncé : Un automobiliste se rend en voiture à une distance d = 1 km. La route est rectiligne. Le mouvement est uniformément accéléré (a = 3m.s-²) puis uniforme de vitesse constante et enfin uniformément retardé (-a). La vitesse moyenne est 72km/h.

Je dois déterminer la durée du mouvement uniforme ainsi que la vitesse maximale.

Ce que j'ai fais:
Tout d'abord j'ai bêtement calculé le tps de trajet moyen à l'aide de la vitesse moyenne. J'ai obtenu environ 50sec. Ensuite j'ai exprimer l'accélération en tant que dérivée par rapport au temps de la vitesse. Ensuite j'ai intégré l'expression pour trouver que la vitesse est égale à at + c (avec les conditions initiales, c = 0) Cependant si l'on fait les calculs directement ceux-ci seront faux vu que je me baserais sur la vitesse moyenne donnée.

Quelqu'un pourrait me donner une piste de réflexion svp ?
Bonne soirée !

Edit Coll : niveau modifié

Posté par
frenet
re : Mécanique : mouvement rectiligne 24-11-14 à 21:33

Oups, j'ai cliqué trop vite, je suis en sup ^^

Posté par
prbebo
mouvement rectiligne 24-11-14 à 22:17

Bonsoir frenet,

je pense que même en sup tu aurais pu t'en sortir. Alors voici ma solution. Je te précise les notations que j'ai employées, mais vu l'heure je n'ai plus le temps de faire un schéma :
J'appelle a l'accélération/décélération dans les phases initiale et finale du mouvement (a = 3 m.s-2).
Soit le temps pendant lequel ces deux phases se produisent ( est inconnu).
Soit Vmax la vitesse maximale atteinte par le mobile (inconnue, mais on a la relation Vmax = a).
Soit t0 le temps total du parcours, et Vmoy la vitesse moyenne sur ce parcours.
Avec les données de ton exercice, Vmoy = 20 m.s-1 et t0 = 50 s.

Si on trace l'évolution de la vitesse en fonction du temps, on obtient un trapèze dont les deux "bouts pointus" sont identiques. La surface de ce trapèze est S = .Vmax/2 + (t0 - 2).Vmax + .Vmax/2, soit en remplaçant Vmax par a,  S = -a2 + at0.  OK ?

Dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse Vmoy pendant le temps t0, cette surface serait S = Vmoy.t0.

L'égalité conduit à l'équation 32 - 150 +1000 = 0.
Le reste ne pose plus de problème : J'obtiens = 23,8 secondes, cce qui donne Vmax = a = 71,3 m.s-1.

La durée de la phase uniforme du mouvement est t0 - 2 = 2,4 s.
Sous réserve d'erreurs numériques. Bonne soirée.

Posté par
prbebo
mouvement rectiligne 24-11-14 à 22:45

Finalement la figure ne prend pas trop de temps à faire, alors la voici, la pente des deux côtés obliques du trapèze étant bien sûr a (3 m.s-2) :

mouvement rectiligne

Posté par
J-P
re : Mécanique : mouvement rectiligne 25-11-14 à 12:25

Moi j'arrive à :

durée d'accélération = durée de freinage = 7,92174 s
durée de vitesse constante = 50 - 2*7,92174 = 34,15652 s
vitesse constante = 23,765 m/s = 85,555 km/h

Distance parcourue en cours d'accélération : d1 =

Sauf distraction  

Posté par
J-P
re : Mécanique : mouvement rectiligne 25-11-14 à 12:26

Pas tenir compte de mon "Distance parcourue en cours d'accélération : d1 = "

Posté par
J-P
re : Mécanique : mouvement rectiligne 25-11-14 à 12:59

Soit Vmax la vitesse pendant le MRU

La vitesse moyenne pendant l'accélération et pendant la décélération est Vmax/2

durée de trajet : t = d/Vmoy = 50 s

Soit t1 la durée d'accélération (égale à la durée de décélération), Vmax = a.t1

d = vmax/2 * t1 + vmax(50 - 2t1) + vmax/2 * t1

d = vmax(50 - t1)

d = a.t1(50 - t1)

a.t1² - 50.a.t1 + d = 0

3t1² - 150.t1 + 1000 = 0

t1 = 7,92174 s

durée d'accélération = durée de freinage = 7,92174 s
durée de vitesse constante = 50 - 2*7,92174 = 34,15652 s
vitesse constante = 3 * 7,92174 = 23,765 m/s = 85,555 km/h

A arrondir.
-----

Posté par
prbebo
mouvement rectiligne 25-11-14 à 15:01

Bonjour JP,

jusqu'à l'équation du second degré donnant t1 ( pour moi) on est d'accord (c'est tout de même le principal). En effet je me suis planté ensuite dans le calcul de la racine, mais j'avais prévenu "Sous réserve d'erreurs numériques".
Il est vrai aussi que j'aurais dû voir que la vitesse max que j'ai trouvée, 71 m.s-1, correspond à 256 km/h... désolé.

Posté par
J-P
re : Mécanique : mouvement rectiligne 25-11-14 à 16:00

Salut prbebo,

Que celui qui ne s'est jamais trompé te jette la première pierre ...
Ne sera pas moi.

Posté par
frenet
re : Mécanique : mouvement rectiligne 25-11-14 à 21:56

D'accord, merci bcp à vous deux

L'explication avec le graphique est très claire ! Le problème c'est que je cherchais bcp plus compliqué ... alors qu'effectivement se reporter à un graphique m'aurait simplifié la vie.



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