Bonsoir physrela,

l'expression de la divergence d'un vecteur V de coordonnées cartésiennes Vx, Vy et Vz est div(V) = Vx/x + Vy/y + 0 ici puisque Vz = 0.

Pour le vecteur unitaire u_r ses composantes cartésiennes sont x/r et y/r, avec r = (x²+y^2).. Tu devrais arriver au résultat : divu_r = 2, et aussi pour le vecteur u puisque ce résultat ne dépend pas du repère utilisé pour faire le calcul.

Bonne fin de soirée (ou ce qu'il en reste).

Merci

Bonjour physrela,

merci d'avoir dit merci, surtout si tôt ce matin, mais il y a une erreur navrante dans le résultat que je t'ai donné hier soir : la divergence de u_r n'est pas égale à 2, mais 2/r, avec r = OM = (x²+y²+z²⁾.
Cette divergence diminue donc avec la distance qui sépare M de la source (ici l'origine O des des coordonnées).

Avec cette expression, il est facile de vérifier le théorème de Green-Ostrogradsky, que tu connais certainement puisque tu es en prépa :
F.dS = divF.d, dans laquelle F est une fonction vectorielle de point, S une surface fermée enfermant un volume V : la première intégrale représente le flux de F sortant de la surface S, et la seconde la sommation de la divergence de F à travers tout l'espace enfermé dans S (d est un élément de volume). OK ? Pour gagner du temps je mets les vecteurs en gras.

Prenons comme surface fermée une sphère de rayon R, et pour F le vecteur unitaire u_r bien sûr. Je te laisse faire les calculs :

a)  Le flux de u_r à travers S vaut 4R² ;

b)  avec la symétrie sphérique, d vaut 4r².dr, donc l'intégrale de volume s'écrit (2/r).4r²dr, elle est étendue de r = 0 jusqu'à r = R. On retrouve bien 4R².

Conclusion : le 1/r dans l'expression de la divergence de u_r est primordiale. Désolé pour l'oubli de hier soir, il était tard...

BB.