J'ai toujours été frustré de ne jamais avoir de définition mathématique rigoureuse d'une onde, l'onde est abordée (ou en tous cas l'était lorsque j'étais étudiant) comme un problème de physique, qui aboutissait à une modélisation du problème.

Il me semble qu'une démarche plus propre serait de se demander intuitivement ce qu'est une onde, et ensuite d'en donner une définition mathématique, et enfin de voir si les phénomènes qu'on observe peuvent ce ranger dans cette catégorie.

Je vais donc tenter cette démarche, et je sollicite vos remarques.

Une onde c'est d'abord la propagation d'un signal.
C'est à dire que ce que je vois ici et maintenant, je le verrai plus tard plus loin.

Si je veux dire la même chose en termes mathématiques, si ce que je vois est mesuré par la grandeur u, et  se propage à la vitesse c selon un axe x, la fonction u(x,t) vérifie nécessairement
(I) u(x + c dt, t + dt) = u ( x, t)

Jusqu'ici êtes vous d'accord?

Après j'essaie d'en déduire des choses, mais j'ai peur de m'être trompé

u(x + c dt, t + dt) -u(x + c dt, t ) +u(x + c dt, t ) =u(x , t )

(II) du/dt(x + c dt, t)  + c du/dx(x,t)  =0

Donc voici mes deux questions.

Une onde vérifie t elle nécessairement (I)?
Me suis-je trompé en passant de (I) à (II)


Bien évidemment, j'ai erré sur internet assez longtemps sans trouver de réponse à ces questions, et comme je n'ai pas fait de physique depuis très longtemps je ne suis pas sûr de moi du tout