Voici l'énoncé :

Modélisation d'un conducteur en équilibre électrostatique

1. On considère une sphère de rayon R centrée en O portant une densité surfacique de charges = ₀cos où ₀ est une constante positive et =(e_x,e_r)

a) En considérant les symétries et antisymétries de la distribution de charges, déterminer la direction du champ électrique au centre de la sphère.


Voici mon dessin. J'ai déduit des symétries et antisymétries que le champ était dirigé selon l'axe des x.

b) Exprimer l'aire élémentaire dS d'une bande repérée par les angles et +d.

dS = 2Rsind*R = 2R²sind


c) Charge totale portée par la sphère

Q= intégrale de dS entre 0 et , j'ai trouvé 0


d) Montrer qu'une sphère possédant une telle distribution crée en son centre un champ uniforme de module E(O) = ₀/3₀

J'ai retrouvé le résultat en utilisant le fait que dE = dEcos=dQ/4₀R²*cos


e) On plonge cette sphère dans un champ extérieur E_ext=E₀e_x. Exprimer la relation liant la densité ₀ au module du champ extérieur E₀ afin d'avoir un champ nul en O.

On sait que E(O)totale = E_ext + E(O) donc E_ext= -₀/3₀


f) Montrer que, en coordonnées polaires, le potentiel V_ext dérivant du champ extérieur s'écrit V_ext = -E₀rcos. On supposera v_ext(r=0) = 0 et on donne : grav(V) = dV/dr e_r + 1/r dV/de

Là je ne sais pas comment faire car mon champ est selon x, et non pas suivant er ou e


2. On considère désormais deux sphères identiques de rayon R, de centres O1 et O2 chargés, respectivement, avec les densités volumiques uniformes - et +. Les deux sphères sont disposées de telle sorte que la distance O1O2 = a séparant les centres O1 et O2 soit très faible devant R.

a) Expliquer qualitativement pourquoi, quand on considère le champ à l'extérieur des 2 sphères, on peut faire une analogie entre les 2 sphères et le dipôle électrostatique ?

Pour le dessin, je pense qu'il faut que les deux sphères se superposent pour que leurs centres soient très proches. Et je pense qu'on peut faire une analogie avec le dipôle car on a un système de 2 charges opposés et que R>>>a

b) Retrouver l'expression du potentiel électrostatique créé par le dipole : Vdip = (acosR³)/(3₀r²) obtenue dans le cadre de l 'approximation dipolaire r>>a, r et sont les coordonnées polaires repérant un point M quelconque de l'espace.

Je ne sais pas comment faire...

3. Pourquoi peut on faire une analogie entre la sphere de la question 1 plongée dans le champ Eext et la superposition des 2 sphères de la question 2 ?

4. Montrer alors que dans le cas où ₀ = -a le potentiel vtot = Vext + Vdip reste constant sur une sphère de centre O dont on exprimera le rayon.

5. Rappelez les caractéristiques de la distribution de charges, du champ et du potentiel d'un conducteur à l'équilibre électrostatique. Pour chaque caractéristique, vous ferez le lien avec les questions 3 et 4 du problème.




Dans un premier temps, pourriez vous m'indiquer si ce que j'ai déjà fait est correct ? Pour le reste, je ne sais pas comment faire..

Merci !

Dessin pour la question 1.a

Vous pourriez, avec ce paramétrage, indiquer les coordonnées (a,b) de ex dans la base (e theta, e R)...



(a = e x scalaire e theta )...... etc.

Est ce que tout ce que j'ai écrit jusque ici est correct ?

ex = coser + sine ?

L'angle entre e theta et ex est ici theta + pi/2....

On dirige etheta dans le sens trigonométrique ?

Oui, ici, il suffirait de relire l'énoncé où theta = (e x, e R) et non l'inverse ....

Merci, je regarde la suite demain.

Est ce que ke début jusqu'à la question e est correct ?

Vous avez dit l'avoir pris de votre cours, non ?

Je trouve ex = costheta er - sintheta etheta, est-ce que c'est ça ?

Il semblerait que cela est correct ....

J'ai réussi a retrouver le résultat demandé par intégration de mon champ.
Je passe a la partie 2. Pour la a est ce qu'il suffit de dire que l'on a un système de deux signes opposés et que R>>a ? Je ne sais pas comment résoudre la suite...

Petite question, pour intégrer le champ, quelles sont les bornes de l'intégrale pour la variable theta ?

Si j'intègre de 0 à pi, comme pour trouver la charge, je ne retrouve pas le résultat demandé à la question f. Par contre, en intégrant à 2pi je trouve le résultat, mais ça me semble bizarre de ne pas intégrer sur le même intervalle...

L'énoncé n'y est pus accessible, vous devriez essayer de le recopier....

plus*...

Le sujet est en haut de la 2e page...

Pour le potentiel de ce dipôle, cous pourriez essayer de raisonner comme avec un dipôle ponctuel, dans le cours....

Est ce qu'il faut que j'exprime mes distances en coordonnées polaires ?

Si oui, je trouve O1M = racine(r²cos) et O2M = racine(a²+r²-2arcos)

Avant l'approximation dipolaire, je trouve V= R³/3₀(1/r⁺-1/r^-) avec r+ = 02M et r- = 01M, est ce correct jusque ici ?

Il me reste à savoir si les distances trouvées ci dessus (O1M et O2M) sont justes pour pouvoir faire mon approximation dipolaire.

Je suis parvenue à retrouver le résultat seule !!!

Par contre, je bloque encore sur la suite

Peut-être, pour l'histoire du champ extérieur, mais ce n'est vraiment PAS certain, que l'on peut considérer, avec le principe de superposition, le champ de la deuxième sphère comme générant un champ extérieur   (d'ailleurs orienté selon ex...)....

Pour ₀=a, vous pourriez regarder Vtotale, et voir pour quelle valeur de R, par exemple, et quelle plage de valeurs de theta, cela est constant....