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Exercice : 2e loi de Newton et théorème de l'Ec
Bonjour à tous,
Ma question concerne l'exercice suivant :
Un solide A de masse M peut glisser suivant la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale. Il est relié par un fil inextensible et de masse négligeable à un solide d'entraînement B de masse m.
Le fil passe sur une poulie sans frottement et de masse négligeable.
On admettra que la valeur de la tension du fil est la même de part et d'autre de la poulie.
On négligera l'action de l'air sur les solides A et B.
Le solide A est soumis sur le plan incliné à une force de frottement s'opposant au mouvement et de valeur constante f inconnue. L'abscisse x du centre d'inertie G du solide A est repéré sur l'axe ascendant (O,
) dont la direction est parallèle à la ligne de plus grande pente du plan incliné, comme l'indique le schéma.
L'origine O de cet axe a été choisi arbitrairement.
L'origine des dates t=0 est prise à l'instant où le centre d'inertie G du solide A passe par le point O.
Le niveau de référence de l'énergie potentielle de pesanteur correspond à la position la plus basse du centre d'inertie G du solide A.
L'altitude z du centre d'inertie G du solide A est repérée sur l'axe vertical ascendant (O',
).
L'altitude O' de cet axe appartient au plan horizontal contenant le niveau de référence (voir schéma).
Un dispositif informatisé a permis pour deux positions différentes de mesurer plusieurs grandeurs relatives au solide A.
| Grandeur | Position 1 | Position 2 |
| date t (ms) | 400 | 800 |
| abscisse x (cm) | 33,9 | 76,4 |
| énergie cinétique (mJ) | 343 | 517 |
| énergie potentielle (J) | 1,83 | 2,76 |
M =752 g ; m = 325 g
Ce schéma d'illustration provient d'un site internet, je précise que sur l'énoncé que j'ai reçu de mon organisme de formation, les formules n'apparaissent pas, bien entendu.
Mon interrogation concerne cette question en particulier :
3.) En déduire la valeur de la force de frottement f (en mN)
En réalisant l'exercice, je suis parvenu à la conclusion que :
(1) : M.a = T - f - M.g.sinα (cette équation est applicable au solide A)
(2) : -m.a = T - m.g soit T = m.(g - a) (cette équation est applicable au solide B)
Or, d'après la correction que j'ai reçue, l'équation (2) devrait être :
(2) : T - m.g = ma soit T = m.(a + g)
Je ne suis pas d'accord. En effet, si on projette sur l'axe Oz la relation suivante (2e loi de Newton) :
m.vecta = vectP + vectT (vect = vecteur, je n'ai pas trouvé de symboles corrects pour ces vecteurs désolée)
On obtient forcément :
-m.a ("-" car sur l'axe Oz, le mobile B se rapproche de O) = T (le vecteur T est orienté vers z) - m.g (car g est orienté vers O)
Soit T = m.g - m.a ou encore T = m.(g-a)
Enfin, en remplaçant T par l'expression obtenue dans (1) on obtient :
(1) : f = m.(g - a) - M.(g.sin
+ a)Et non : f = m.(a + g) - M.(a + g.sin
)Est-ce juste ?
Un grand merci d'avance pour votre éclaircissement.
Edit Coll : image placée sur le serveur de l'
Merci d'en faire autant la prochaine fois ! 
Bonsoir
Vous avez raison et tort : les projections sur l'axe Oz du poids et de la tension du fil s'exerçant sur la masse m sont correctes. La composante du vecteur accélération sur cet axe est a et non pas -a, donc la relation proposée est la bonne.
Quand vous avez un vecteur vecta, ses coordonnées sont (ax,ay et az), on voit bien qu'il n'y pas de signe -.
On met le signe - quand on connaît à priori le signe de la coordonnée, mais ce n'est pas obligatoire, on peut tout résoudre en valeurs algébriques.
Bonsoir Fermion,
Je vous remercie pour votre réponse. Il me reste donc un point de cours à éclaircir, si vous voulez bien m'accorder à nouveau du temps. Comme je ne me sens pas capable d'expliquer clairement mon propos, je préfère illustrer avec un exercice de cours.
Malheureusement mon scanner ne fonctionne pas, je ne pourrais vous mettre le schéma, mais je pense qu'avec l'énoncé ce sera suffisamment clair.
Un chariot de centre d'inertie G, de masse m, est lâché sans vitesse initiale sur un banc à coussin d'air incliné, dont la ligne de plus grande pente fait un angle avec un plan horizontal. L'accélération de la pesanteur est g.
L'axe Ox suit la pente, il est donc orienté positivement vers le bas.
On se propose de déterminer , en exprimant ses composantes en fonction de g et
.
Voici la correction pour cet exercice :
La relation +
= m.
projetée sur l'axe Ox donne :
P.sin + 0 = m.ax
Soit ax = g.sin
On nous indique en remarque : si on choisit dans cet exercice un axe Ox orienté positivement "vers le haut", donc ayant le sens inverse de celui du mouvement, la mise en équation donne les résultats suivants :
ax = -g.sin
Alors ax est négatif.
Je reprends donc l'exercice précédent (celui qui est objet de ce topic), en considérant cette fois qu'on cherche et qu'on connaît la valeur des vecteurs
et
Grâce à la 2e loi de Newton, on a la relation : m. =
+
On projette cette relation sur l'axe Oz, on obtient alors :
m.az = T - P (bien que le vecteur soit dans le sens des "z négatifs", je ne le traduis pas dans la relation, mais je prends en compte que P est dans le sens des "z négatifs" et le traduit en indiquant que sa valeur est -P)
Alors az =
La valeur de az est positive lorsque je fais le calcul en prenant T = m.(a + g). (donc ce qui est proposé dans la correction)
Et je ne comprends pas bien pourquoi... Dans les 2 cas (exercice du devoir et exercice de cours), l'axe sur lequel on projette la relation de Newton est orienté dans le sens inverse du mouvement, et une fois la valeur de selon l'axe (donc ax ou az) est positive, l'autre fois négative.
Il y a quelque chose qui m'échappe.
Je comprends que la valeur de soit toujours positive, puisque a =
, pour le reste par contre, je suis perdue.
Merci beaucoup d'avance.
Bonjour
Reprenons l'exercice du cours :
Premier cas : axe Ox orienté vers le bas, on a ax = g.sin positif, donc l'objet accélère vers le bas
Deuxième cas: axe Ox orienté vers le haut, on a ax = -g.sin négatif, donc l'objet "décélère vers le haut", ce qui est équivalent à "l'objet accélère vers le bas".
Suivant le choix d'orientation des axes, on trouve des des formulations différentes, mais l'interprétation physique est indépendante de ces axes. C'est comme l'orientation du sens des intensités et tensions dans un circuit électriques.
Bonsoir Fermion et merci de votre réponse.
Je vais donc reprendre l'exercice, en ne m'intéressant qu'au solide B, puisque de toute façon c'est là que se situe ce nœud qui me chiffonne.
Le référentiel d'étude est supposé galiléen, le système étudié est le solide B.
Ce solide est soumis à 2 forces :
- la tension exercée par le fil, verticale et orientée vers le haut, de norme T ;
- son poids , vertical et orienté vers le bas, de norme P.
On projette ces vecteurs sur l'axe Oz, vertical et orienté vers le haut. Les composantes des vecteurs et
sont alors :
(T) et
(-P)
Le solide B "décélère vers le bas".
D'après la 2ème loi de Newton, on a la relation :
m. =
+
La composante du vecteur est
(az) (cela ne me semble pas logique, puisque les vecteurs
et
sont de même sens, mais peut être est-ce une question d'écriture ? On n'a "pas le droit" d'avoir une composante négative pour le vecteur
?)
Ce qui donne, considérant que le solide B décélère vers le bas :
m.az = -(T - P) soit az = ou encore T = P - m.a
Je mets -(T - P), et non (T - P), car puisque T > P d'après mon corrigé, on obtiendrait une valeur positive pour az, ce qui est absurde puisque l'objet décélère vers le bas.
Au final, j'en reviens à T = m.(g - a) et non à T = m.(g + a)
Maintenant, je vais refaire comme j'ai fais pour l'exercice, mais en explicitant ma démarche, car la logique m'échappe.
Le référentiel d'étude est supposé galiléen, le système étudié est le solide B.
Ce solide est soumis à 2 forces :
- la tension exercée par le fil, verticale et orientée vers le haut, de norme T ;
- son poids , vertical et orienté vers le bas, de norme P.
On projette ces vecteurs sur l'axe Oz, vertical et orienté vers le haut. Les composantes des vecteurs et
sont alors :
(T) et
(-P)
Le solide B "décélère vers le bas".
D'après la 2ème loi de Newton, on a la relation :
m. =
+
La composante de est
(-az) soit
(-a).
(En effet, les vecteurs et
sont colinéaires et de même sens. Si la composante de
est
(-P), la composante de
est nécessairement négative elle aussi et de plus, le mouvement ne se produit que selon l'axe Oz et l'accélération suit le mouvement (le mouvement est rectiligne), alors az = a d'où
(-a))
On obtient alors : -a.m = T - P soit T = P - m.a ou encore T = m.(g - a).
En fait, j'ai beau le retourner dans tous les sens, j'obtiens toujours la même chose. J'ai également essayé en utilisant la relation de colinéarité existant entre les vecteurs ,
,
(cf. schéma du premier message), et
.
Les vecteurs
et
sont colinéaires et de normes P, T et a.
= -
.P (car
et
sont de sens contraires)
= -
.c (car
et
sont de sens contraires)
=
.d (car
et
sont de même sens)
Au final, j'obtiens à nouveau la même chose.
Et aussi, si je prends l'exemple de la chute libre verticale tel que décrit dans cette fiche :
Mouvement dans un champ de pesanteur : chute libre verticale
Et que je considère donc mon solide B en chute libre verticale, avec toujours cet axe Oz orienté vers le haut (et non vers le bas comme dans la fiche du site), le vecteur lui aussi orienté vers le haut, et que j'écris :
On a donc
La composante verticale de est bien négative !
Je dois vous sembler bien obtuse, mais croyez bien que ça n'est pas le cas, j'apprécie très sincèrement votre aide et ce n'est pas vos connaissances ou votre raisonnement que je mets en doute, c'est simplement... Que je ne comprends pas.
Zut est-ce qu'on peut éditer son message ? Il y a une coquille, ce n'est pas :
Les vecteurs et
sont colinéaires et de normes P, T et a.
=
(car
et
sont de sens contraires)
=
(car
et
sont de sens contraires)
=
(car
et
sont de même sens)
Voici ce qui est correct :
Les vecteurs et
sont colinéaires et de normes P, T et a.
=
(car
et
sont de sens contraires)
=
(car
et
sont de sens contraires)
=
(car
et
sont de même sens)
Bonjour
Vous supposez que l'objet B (et donc A aussi) décélère vers le bas, ce qui est une formulation ambiguë. En fait B accélère puisque l'énergie cinétique entre 1 et 2 augmente.
Soyons simple:
On a vectP + vectT = m
vecta
Soient az, Pz et Tz les coordonnées de ces vecteurs sur l'axe Oz.
On a Pz = -P ; Tz = T et az = a.
La relation vectorielle précédente me donne par projection:
maz = Tz + Pz, c'est à dire :
ma = T - P.
Ici T et P sont des valeurs positives ( car je connais leurs sens) et a (l'accélération) une valeur algébrique qui peut être positive ou négative.
Si a > 0, alors B accélère et si a < 0, B décélère.
Dans votre réponse, je ne comprends pas pourquoi vous écrivez que vectP et vecta sont de mêmes sens, rien ne le montre. Les seules choses que vous connaissez sont les sens et directions de vectP et vectT et seulement la direction de vecta.
Prenons un exemple plus simple mais similaire. Vous prenez un objet de masse m, de poids P, sur lequel vous exercez une force T dirigée verticalement vers le haut et de norme constante.
D'après votre raisonnement, on aurait : az = (P-T)/m avec l'axe Oz dirigé vers le haut.
Si T > P, je sais par expérience que l'objet va accélérer en allant vers le haut ; d'après votre raisonnement, on aurait az <0 , ce qui signifie qu'en tirant un objet vers le haut avec une force constante, celui-ci ralentirait.
Supposons maintenant que nous prenions l'axe Oz dirigé vers le bas.
Nous avons toujours mvecta = vectP + vectT, ce qui donne par projection
maz = P-T az = (P-T)/m
Avec T > P cela donne az < 0 , ce qui est tout à a fait logique. Je vous laisse interpréter le signe de az.
Les données de l'énoncé sont incohérentes.
E potentielle du mobile A = mA.g.x.sin(alpha)
En position 1: x = 0,339 (m) : mA*g*sin(alpha) * 0,339 = 1,83
Et donc mA*g*sin(alpha) = 1,83/0,339 = 5,39 (1)
En position 2: x = 0,764 (m) : mA*g*sin(alpha) * 0,764 = 2,76
Et donc mA*g*sin(alpha) = 2,76/0,764 = 3,61 (2)
(1) et (2) sont incompatibles ... Les données sont incohérentes.
-----
Sauf distraction. 
La relation Ep = mA.g.x.sin(alpha) n'est pas valable car sur le schéma, l'origine O sur l'axe Ox n'est pas au même niveau que le point 0'.
On a Ep = mA.g.(x+ OO').sin(alpha)
C'est plus simple par les énergies.
Entre les positions 1 et 2:
Delta Ec = (0,517 - 0,343) * (1 + m/M) = (0,517 - 0,343) * (1 + 325/752) = 0,2492 J
Delta Ep = (2,76 - 1,83) + mg(0,339 - 0,764) = (2,76 - 1,83) + 0,325 * 9,81 * (0,339 - 0,764) = -0,4250 J
Delta Em = 0,2492 - 0,4250 = -0,1758 J
Cette perte d'énergie mécanique est due au travail de la force de frottement --->
|f| * (0,764 - 0,339) = 0,1758
|f| = 0,414 N = 414 mN
*****
Sauf distraction.
Bonjour,
Je vous remercie pour votre réponse.
Je pense avoir saisie mon erreur, je vais tout de même reprendre afin de m'en assurer.
Fermion, vous dites : "Dans votre réponse, je ne comprends pas pourquoi vous écrivez que vectP et vecta sont de mêmes sens, rien ne le montre. Les seules choses que vous connaissez sont les sens et directions de vectP et vectT et seulement la direction de vecta."
Dans le cas d'un mouvement rectiligne, ne considère-t-on pas que le vecteur accélération suit le mouvement ? Ou est-ce que je confonds avec le vecteur vitesse ?
Pour JP : je ne comprends pas ceci :
"Delta Ec = (0,517 - 0,343) * (1 + m/M) = (0,517 - 0,343) * (1 + 325/752) = 0,2492 J
Delta Ep = (2,76 - 1,83) + mg(0,339 - 0,764) = (2,76 - 1,83) + 0,325 * 9,81 * (0,339 - 0,764) = -0,4250 J "
Pourquoi est-ce qu e Delta Ec n'est pas égal à Ec2 - Ec1 = 0,517 - 0,343 ?
Par contre, cela me confirme qu'il y a un noeud dans cet exercice. Car d'après mon corrigé, f = 762 mN, d'après moi f = 409 mN, d'après vous f = 414 mN.
Si on était au juste prix, je gagne par rapport au corrigé. 
Malheureusement les concours, ce n'est pas comme le juste prix. 
Je confirme ma réponse :
Ec (mobile M) = (1/2).M.v²
Ec (movile m) = (1/2).m.v²
Ec totale (pour l'ensemble des 2 mobile) = (1/2).M.v² + (1/2).m.v² = * (1 + m/M)
Delta Ec (mobile M) = (1/2).M.(V2²-V1²) = 0,517 - 0,343 = 0,174 J
Delta Ec (mobile m) = (1/2).m.(V2²-V1²) = (1/2).M.(V2²-V1²) * m/M = 0,174 * 0,325/0,752 = 0,0752 J
Delta Ec (pour l'ensemble des 2 mobiles) = 0,174 + 0,0752 = 0,2492 J (249,2 mJ)
-----
Delta Ep (mobile M) = 2,76 - 1,83 = 0,93 J
Delta Ep (mobile m) = M.g.Delta h
Or le mobile m est descendu de x2-x1 = 0,764-0,339 = 0,425 m ---> delta h = -0,425 m
Delta Ep (mobile m) = 0,325 * 9,81 * (-0,425) = -1,355 J
Delta Ep (pour l'ensemble des 2 mobiles) = 0,93 - 1,355 = - 0,425J
---
Delta Em (pour l'ensemble des 2 mobiles) = Delta Ec (pour l'ensemble des 2 mobiles) + Delta Ep (pour l'ensemble des 2 mobiles)
Delta Em (pour l'ensemble des 2 mobiles) = 0,2492 - 0,425 = -0,176 J
Cette diminution d'énergie mécanique de l'ensemble des 2 masses est due au travail de frottement f de la masse M (seule) sur le plan incliné, sur une distance (x2-x1) = 0,425 m
---> -0,176 = f * 0,425
f = -0,414 N (-414 mN)
-----
Le corrigé est faux.
Par contre, il est possible que f = -409 mN soit obtenu avec une valeur de g un peu différente que celle que j'ai utilisée (9,81 N/kg)
Bonjour, je repose une question sur cet exercice ancien mais comment savons-nous si f est constante ?
Merci de votre aide (j'ai un exercice similaire qui nous demande si f est constante)
Le matériau de M et son fini de surface sont des constantes dans le problème donné (on ne modifie pas le corps M en cours de mouvement).
Si le matériau constituant le plan incliné est partout le même et avec le même fini de surface, alors le coefficient de frottement dynamique (mu) entre le plan incliné et le corps M est une constante.
Comme la pente du plan incliné est la même sur tous le trajet du corps M, la composante normale au plan incliné de la réaction du plan incliné sur l'objet (souvent notée N) est une constante dans le cadre du problème.
L'amplitude de la force f est : f = mu * N (frottement sec) et comme mu et N sont des constantes pour le problème donné, alors f est aussi constante.
Sauf distraction.
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