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exercice sur les equations de MAXWELL URG

Posté par
lolita00 21-10-14 à 23:09

bonsoir tous le monde
je suis en niveau master technologie de l'espace en effet on etude un peu de physique sur le rayonnement electromagnetique et j'arrive pas a resoudre cet exercice parce que je suis une géologue j ai besoin de votre aide et un peu d'explication merci

on considère un milieu diélectrique et un milieu conducteur non chargé séparé par une surface Plane
- le conducteur occupe le demi espace > 0
la conductivité = 5,9 107 s/m
une onde electromagnitique polarisée rectilignement suivant Ox  de elle se propage suivant Oz on donne f=10 Hz

1) ecrire les equations de MAXWELL pour le champ electrique E et le champ magnetique H dans le conducteur en tennant compte des simplifications introduite par les propriétés du conducteur

2) montrez que le H verifit H -j 2/2H =O


SVPPPP aidde

Posté par
Aragornre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 22-10-14 à 21:04

Bonsoir,

Citation :
- le conducteur occupe le demi espace   > 0

Le   est bizarre. Cela devrait être x, y ou z . En l'occurrence, c'est sans doute z...
Citation :
on donne f=10 Hz

Surprenant !... Cela doit être 10 MHz ou 10 GHz...

Posté par
lolita00reppon 23-10-14 à 19:38

bonsoir
oui occupe z et pour f= 10 GHZ
svp vraiment j ai besoin de votre explication pour bien comprendre comment resoudre ce genre d'exercice merci

Posté par
REMY_Kre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 23-10-14 à 23:25

Bon déjà, que vous a renvoyé la Première Question, avec les simplifications (Rho=0...) ?
Et, même si il n'est pas garanti Que Je Puisse résoudre la question suivante, pourriez vous re-préciser la formule présente dans cette question (Que désigne ....) ?
Enfin, c'est urgent à quel point (en termes de délais, évidemment ...) ?

Posté par
Aragornre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 24-10-14 à 00:46

Les équations de Maxwell
\Large div\,\vec{H}\,=\,0
\Large \vec{rot\,E}\,=\,-\,\mu_0\,\frac{d\vec{H}}{dt}
\Large div\,\vec{E}\,=\,\frac{\rho}{\epsilon_0}
\Large \vec{rot\,H}\,=\,\vec{j}\,+\,\epsilon_0\,\frac{d\vec{E}}{dt}

\vec{j}  est le courant de conduction et  \epsilon_0\,\frac{d\vec{E}}{dt}  est le courant de déplacement.
Dans un métal, le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction.
On peut le montrer par le calcul suivant, sachant que  \vec{j}\,=\,\sigma\,\vec{E} .
\Large \frac{\epsilon_0\,\omega}{\sigma}\,=\,\frac{\frac{1}{36\pi 10^9}\,2\pi 10^{10}}{5,9.10^7}\,=\,\frac{10}{18.5,9.10^7}\,=\,9,416.10^{-9}
Donc   \epsilon_0\,\omega\,<<\,\sigma
La dernière équation de Maxwell peut être approximée par
\Large \vec{rot\,H}\,=\,\vec{j}

J'ai omis quelques détails. Si tu as du mal à me suivre, dis-le moi...

Posté par
Aragornre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 24-10-14 à 00:49

J'ai mis  \mu_0.
Comme ce n'est pas le vide, j'aurais dû mettre  \mu_0\,\mu_r .
\mu_r  étant la perméabilité relative du métal

Posté par
REMY_Kre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 24-10-14 à 00:55

Et le coup du nul est faux ? (Cela M'Intéresserait, un Devoir Surveillé sur l'ElectroMagnétisme approche )...

Posté par
Aragornre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 25-10-14 à 19:55

Citation :
Et le coup du nul est faux ? (Cela M'Intéresserait, un Devoir Surveillé sur l'ElectroMagnétisme approche )...

Oui, = 0, c'est pour un conducteur parfait. Ici, on donne une valeur pour donc le conducteur n'est pas parfait...

Je précise un peu pour  \frac{\epsilon_0\,\omega}{\sigma} .
Le courant de déplacement  \epsilon_0\,\frac{dE}{dt} peut s'écrire avec les complexes.
Sachant que  \vec{E}\,=\,\vec{E_0}\,e^{i\omega t} , on a  \frac{d\vec{E}}{dt}\,=\,i\omega\,\vec{E}  et   \vec{j}\,=\,\sigma\,\vec{E} .
\Large \vec{rot\,H}\,=\,\sigma\,\vec{E}\,+\,i\,\epsilon_{0}\,\omega\,\vec{E}
\Large \vec{rot\,H}\,=\,\left(\sigma\,+\,i\,\epsilon_{0}\,\omega\right)\vec{E}
\Large \vec{rot\,H}\,=\,\sigma\,\left(1\,+\,i\,\frac{\epsilon_{0}\,\omega}{\sigma}\right)\vec{E}

Donc, si  \Large \frac{\epsilon_{0}\,\omega}{\sigma}\,<<\,1 :
\Large \vec{rot\,H}\,=\,\sigma\,\vec{E}

D'où le calcul de \Large \frac{\epsilon_{0}\,\omega}{\sigma} ...

Posté par
Aragornre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 25-10-14 à 21:02

Pour la question 2
On prend la dernière équation :
\Large \vec{rot\,H}\,=\,\sigma\,\vec{E}
On prend le rotationnel de chaque membre :
\Large \vec{rot\left(\vec{rot\,H}\right)}\,=\,\sigma\,\vec{rot\,E}
On sait que  \vec{rot\left(\vec{rot\,H}\right)}\,=\,\vec{grad\left(div\,\vec{H}\right)}\,-\,\Delta\,\vec{H}
D'où :
\vec{grad\left(div\,\vec{H}\right)}\,-\,\Delta\,\vec{H}\,=\,\sigma\,\vec{rot\,E}
On sait que div\,\vec{H}\,=\,0  (1ère équation)

-\,\Delta\,\vec{H}\,=\,\sigma\,\vec{rot\,E}

D'autre part, d'après la deuxième équation,   \vec{rot\,E}\,=\,-\,\mu_0\,\mu_r\,\frac{d\vec{H}}{dt}
Donc :
\Large -\,\Delta\,\vec{H}\,=\,-\,\sigma\,\mu_0\,\mu_r\,\frac{d\vec{H}}{dt}
Sachant que  \vec{H}\,=\,H_0\,e^{i\omega t}  ,  on a  \frac{d\vec{H}}{dt}\,=\,i\,\omega\,\vec{H}
Donc :
\Large \Delta\,\vec{H}\,=\,i\,\sigma\,\mu_0\,\mu_r\,\omega\,\vec{H}
\Large \Delta\,\vec{H}\,-\,i\,\sigma\,\mu_0\,\mu_r\,\omega\,\vec{H}\,=\,\vec{0}

(je suppose que la relation de la question 2 est en vecteurs)

Il suffit de poser   \Large \sigma\,\mu_0\,\mu_r\,\omega\,=\,\frac{2}{\delta^2}
\Large \delta^2\,=\,\frac{2}{\sigma\,\mu_0\,\mu_r\,\omega}
D'où :
\Large \delta\,=\,\sqrt{\frac{2}{\sigma\,\mu_0\,\mu_r\,\omega}}

\delta s'appelle l'épaisseur de peau.
Et on trouve :
\Large \Delta\,\vec{H}\,-\,i\,\frac{2}{\delta^2}\,\vec{H}\,=\,\vec{0}

(j'ai utilisé i au lieu de j dans le calcul)

On peut résoudre l'équation différentielle (non demandé dans l'exo apparemment)  et on trouve ce que l'on appelle une onde évanescente. C'est une onde dont l'amplitude décroît exponentiellement quand elle progresse dans le conducteur. Cette onde produit un courant qui produit une onde électromagnétique en sens inverse de l'onde incidente. C'est pour cette raison que l'on dit que le conducteur (métal en général) réfléchit l'onde incidente.
On peut établir le même genre d'équation avec la densité de courant \vec{j} . On trouve de la même façon un courant qui s'atténue exponentiellement avec la profondeur dans le conducteur. Si on considère que le courant est constant, on peut considérer qu'il se propage dans une fine couche à la périphérie du conducteur d'épaisseur \delta .
Pour un conducteur parfait, le courant se propage uniquement à la surface du conducteur.

Posté par
REMY_Kre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 26-10-14 à 00:12

Et comment comprenez-vous alors l'appellation "conducteur non chargé" ???

Posté par
Aragornre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 26-10-14 à 00:12

En toute rigueur, comme j'ai mis  \mu_0\,\mu_r, à la place  de \epsilon_0 , il faudrait écrire aussi  \epsilon_0\,\epsilon_r ,  \epsilon_r  étant la perméabilité relative du conducteur.
On peut poser  \large \mu\,=\,\mu_0\,\mu_r  et  \large \epsilon\,=\,\epsilon_0\,\epsilon_r

Posté par
Aragornre : exercice sur les equations de MAXWELL URG 26-10-14 à 00:14

"conducteur non chargé" signifie que la charge globale du conducteur est égale à 0. Autrement dit,  il est électriquement neutre.


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