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équadiff boule plan incliné
Bonjour, je dois trouver les équadiffs de mouvement de la boule sur le plan incliné (voir photo)
il n'y a pas de frottement de contact et on connais J=2/5mR²
j'ai commencé par faire un TEC mais je trouve un truc bizarre:
1/2m(dx/dt)²+mgsin(
)x+1/2*J(d
/dt)²=0
alors j'ai voulu faire le TEM
mais le je me retrouve avec des dx/dt et des d²x/dt² non simplifiables ...
si vous pouviez m'aider 
Max
Soit x l'abscisse à un instant donné de la boule sur le plan incliné
L'énergie potentielle de pesanteur de la boule a diminué de mgx.sin(alpha) (depuis le départ)
On a donc : Energie cinétique de translation + Energie cinétique de rotation = mgx.sin(alpha)
1/2.m.v² + 1/2.J.w² = mgx.sin(alpha)
Mais w = v/R et J = 2/5 m.R² --->
1/2.m.v² + 1/2.*(2/5)m.R²*(v²/R²) = mgx.sin(alpha)
1/2.m.v² + (1/5)m.v² = mgx.sin(alpha)
0,7.m.v² = mgx.sin(alpha)
0,7.v² = gx.sin(alpha)
(dx/dt)² = (g.sin(alpha) /0,7).x
dx/dt = +/- V(g.sin(alpha) /0,7) * V(x)
Et un poil de réflexion impose : dx/dt = V(g.sin(alpha) /0,7) * V(x)
dx/Vx = V(g.sin(alpha) /0,7) dt
On intègre :
2.V(x) = V(g.sin(alpha) /0,7) * t + K
Et avec x(0) = 0 ---> K = 0
x = (1/4).(g.sin(alpha)) /0,7 * t²
x = (1/2,8).(g.sin(alpha)) * t²
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Sauf distraction.
salut, je te remercie, mais j'avoue être un peu largué ...
pourquoi n'utilises-tu pas Em=Ec+Ep ?
la tu semble avoir utilisé Ec=Ep
De plus il me fallait des équations différentielles mais pas les résoudre. Dans cette question je dois aussi trouver que valent les d²x/dt² et d²/dt
Je n'ai également pas compris ce qu'était ton grand V par rapport à V(x) ?
merci
Est-ce correct d'appliquer le PFD dans ce cas ?
car ça serait beaucoup plus simple: je trouve
m(d²x/dt²)=mgsin() 
(d²x/dt²)=gsin()
et 0=mgcos()*N
J'ai bel et bien utilisé Em = Ep + Ec = constante
Si on considère le niveau de O comme référence pour les énergie potentielle de pesanteur nulle, alors Ep(0) = 0
On a aussi Ec(0) = 0 (puisqu v = 0 en )
---> Em = Ep + Ec = 0
Et donc Ec = - Ep
A l'abscisse x, la boule est descendue de x*sin(theta) et donc Ep(x) = -mg.x.sin(alpha)
L'énergie cinétique totale Ep(x) est la somme de l'énergie cinétique de transalation (1/2 m v²) et de l'énergie cinétique de rotation (1/2 J.w²)
On a donc Ec = -Ep
1/2 m.v² + 1/2 J w² = -(-mgx.sin(theta))
1/2 m.v² + 1/2 J w² = mgx.sin(theta))
... Qui est bien l'équation de laquelle je suis parti dans ma réponse précédente.
Et j'ai montré que cela aboutit à l'équation differentielle : (dx/dt)² = (g.sin(alpha) /0,7).x
"Est-ce correct d'appliquer le PFD dans ce cas ?
car ça serait beaucoup plus simple: je trouve
m(d²x/dt²)=mgsin(alpha) (d²x/dt²)=gsin(alpha) "
Non, cela c'est faux.
Ce serait correct si la boule
Si la boule roule sans glisser, alors la solution est celle que j'ai donnée.
C'est sûrement ce qui est demandé puisque l'énoncé mentionne bien le moment d'inertie de la boule autour d'un axe passant par son centre J = 2/5 m.R², ce qui indique qu'on DOIT tenir compte de l'énergie de rotation de la boule dans la résolution.
Ok merci pour tes explications claires
je suis d'accord mais lors de la première phase on n'a pas de frottement de contact, donc lors de cette phase la boule glisse non ?
c'est seulement lors d'une deuxième phase de mouvement que l'on a des frottements
C'est toujours ambigü.
Si le coefficient de frottement est nul, la boule glisse sans rouler.
Mais on peut avoir, un coefficient de frottement (ou d'adhérence) suffisant et n'avoir aucune perte par frottement (entre le sol et la boule). C'est le cas d'une boule qui roule sans glisser.
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Dire "il n'y a pas de frottement" est ambigü.
Une bille qui roule sur un support (même si le coefficient d'adhérence est élevé) n'a aucun glissement et donc pas de frottement.
"C'est seulement lors d'une deuxième phase de mouvement que l'on a des frottements"
Suite à mes remarques ci-dessus, tu aurais du écrire l'énoncé complet depuis le début.
Ne serait-ce que pour "deviner" ce que le prof pensait en utilisant le "pas de frottement" très ambigü comme je l'ai mentionné.
C'est un sujet de concours donc assez long à écrire
mais il commence comme cela:
une bille est posée sans vitesse initiale sur le plan incliné (de l'image) avec C confondu avec O.
le contact se fait sans frottement.
trouver les équations différentielles du mouvement ?
ensuite on se trouve dans une zone avec frottement de glissement et la on a un tas d'autres questions
j'ai trouvé quasiment le même énoncé sur ce site: http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_S_M02_G01_01/co/Contenu_18.html
Ce n'est pas le même problème (notamment parce que la boule est creuse et lorsqu'elle roulera dans la 2eme partie (cat le J de la boule est différent)) mais soit.
Là, (sur le lien) on devine assez bien ce que l'auteur veut.
En effet, il est écrit "... la sphère arrive dans une zone où le coefficient de frottement de glissement avec ne peut plus être négligé ..."
Et de là, on peut raisonnablement dire que c'est bien le coefficient de frottement qui était nul (et pas uniquement les pertes par frottement) pour le début du problème.
Si tel est le cas ici aussi, alors : Dans la première partie du problème, on a directement : d²x/dt² = g.sin(alpha) avec x(0) = 0 et (dv/dt)(0) = 0
qui aboutira à x(t) = (1/2).g.sin(alpha) * t²
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Si plus loin le coefficient de frottement n'est plus nul, le glissement va progressivement faire tourner la bille sur-elle même et on va tendre (si le coeff de frottement est suffisant) à un mouvement tel que décrit dans mon premier message (sauf que la vitesse initiale n'est pas nulle). Mais ce passage de glissement à roulement se fera progressivement.
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