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Niveau maths sup
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Exercice :Oscillations verticales d'une masse

Posté par
idir76
19-09-14 à 20:55

Bonjour

Je suis en Prépa PTSI et j'ai cet exercice a faire pour mercredi prochain.
Je voudrai vous demander un peu d'aide a partir de la question 4 j'ai un peu de mal a me lancer, nous avons essayé de le faire avec 2 de mes camarades de classe mais on y arrive pas .
Merci de votre aide a l'avance, je ne demande pas forcément les réponses au question mais des explication ou des exemples.

Cordialement Idir.

Posté par
idir76
re : Exercice :Oscillations verticales d'une masse 19-09-14 à 21:21

Désolé j'ai oublié le sujet de l'exercice le voici

Un ressort de longueur à vide lo et de raideur k est fixé au plafond en O. A son extrémité est attaché un mobile M de masse m repère par son abscisse z tel que la position du mobile soit OM= z uz

1) Réaliser le bilan des forces sur la masse.
2) Établir l'équation de mouvement de la masse.
3) Quelle est la position d'équilibre zeq. Commenter ce résultat.
4) On introduit la variable u(t)=z(t)-zeq. Établir l'équation différentiel vérifiée par u(t).
5) Exprimer la période T des oscillations. Commenter, en particulier sur l'influence du champs de pesanteur.
L'objectif de la fin de l'exercice est de voir une autre méthode permettant d'accéder à l'équation du mouvement, basée sur une étude énergétique. Pour cela :
On admet ici que l'énergie potentielle totale du système est la somme de l'énergie potentielle élastique et de l'énergie potentielle de pesanteur, dont on admet à ce stade l'expression :Epp = -mgz.
6) Calculer l'énergie potentiel et l'énergie cinétique de la masse en fonction de z(t) et de sa dérivée.
7) Écrire la relation traduisant la conservation de l'énergie mécanique. Dériver alors cette expression pour retrouver l'équation du mouvement. Commentaire.


Voila Merci de votre aide à l'avance.  

Posté par
Revelli
re : Exercice :Oscillations verticales d'une masse 20-09-14 à 09:11

Bonjour,

Merci de nous fournir ce que vous avez obtenu pour les 3 premières questions

On doit avoir mz" = mg - k(z-z0) avec z0 = z(0)

Soit mz"+kz = mg + kz0

4) On a u(t)=z(t)-zeq soit en conséquence u'(t)=z'(t) et u"(t)=z"(t)

Donc mu"(t)+ k(u(t)+zeq) = mg + kz0

Soit encore mu"(t)+ ku(t) = mg + k(z0-zeq)

Bien sûr, on peut ainsi deviner que zeq = z0

Posté par
Fr3udBorgia
re : Exercice :Oscillations verticales d'une masse 20-09-14 à 10:28

Pourquoi z_{eq}=z_0 ?

Pour trouver z_{eq} je pensais qu'il fallait faire la chose suivante :

L'équilibre est atteint quand l'accélération est nulle soit quand z"=0.
On a alors, en isolant z qui correspond à z_{eq}=mg+kz_0

Posté par
Fr3udBorgia
re : Exercice :Oscillations verticales d'une masse 20-09-14 à 10:29

Pardon, en isolant on a z_{eq}=z_0+mg/k

Posté par
Revelli
re : Exercice :Oscillations verticales d'une masse 20-09-14 à 13:35

Pour ma part, puisqu'il n'y a pas d'amortissement, le mobile m va osciller indéfiniment autour de la position z0=l0 longueur à vide du ressort

S'il y avait un amortissement, la position au bout d'un certain temps serait celle où les 2 forces se compensent totalement (donc effectivement l'accélération est nulle) et le mobile définitivement immobilisé

Donc dans ce cas  mg-k(zeq-z0)=0

Soit mg-kz0=kzeq

Soit zeq=mg/k-z0=mg/k-l0

Posté par
idir76
re : Exercice :Oscillations verticales d'une masse 21-09-14 à 12:30

Bonjour à tous

voici un résumé de ce que j'ai répondu au premières questions:
j'ai rappelé le système étudié et le référentiel d'étude
1) BDF:
-Le Poids p= m*g
-La Force de rappel : FR=-k(l-l0)z
2) On applique le PFD au système masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen:
par définition:
m * a = P+FR
m * a = m*g-k(l-l0)z

On projette sur uz:

uz: m * z" = -k(z(t)-l0)+m * g
m * z" = -kz(t)+kl0+ m * g
m * z" +kz(t) = kl0+ m * g

On pose 0= (k/m)

d'où  z" + 02z(t) = 02l0+g

3) à l'équivalence :

zeq= z(t) = constante

donc z"eq=0

02zeq=02l0+g

zeq= g/02 + l0
zeq= g * m/k +l0
zeq= p/m * m/k +l0
zeq= p/k +l0

Si p > k alors zeq > 1+l0
Si p = k alors zeq = 1+l0
Si p < k alors zeq < 1+0


Donc voilà ce qu'on a fait avec mes camarades jusqu'à maintenant

Merci de votre aide

Posté par
idir76
re : Exercice :Oscillations verticales d'une masse 21-09-14 à 12:38

Si p < k alors zeq < 1+l0

Pardon de la faute



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