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Retrouver équations du MRUA

Posté par
Supradyn 21-07-14 à 07:24

Bonjour,

Je vous écris car j'ai essayé de retrouver les équations d'un MRUA à partir des équations "basiques" de l'accélération et de la vitesse moyenne (c'est-à-dire a = \frac{\Delta v}{\Delta t} et v = \frac{\Delta x}{\Delta t} mais je n'arrive pas au bon résultat pour ce qui est de l'équation de la position (c'est-à-dire x(t) = \frac{1}{2} at^2 + v_1 t + x_1 )

J'ai procédé comme suit:

a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{x_2 - x_1}{(t_2 - t_1)^2} - \frac{v_1}{t_2 - t_1}

\Rightarrow a + \frac{v_1}{t_2 - t_1} = \frac{x_2 - x_1}{(t_2 - t_1)^2}

\Rightarrow a(t_2 - t_1)^2 + v_1 (t_2 - t_1) = x_2 - x_1

\Rightarrow x_2 = a(t_2 - t_1)^2 + v_1 (t_2 - t_1) + x_1

Or, l'élément a(t_2 - t_1)^2 devrait être divisé par deux. D'où vient mon erreur? Le calcul fonctionne lorsque j'utilise v = \frac{v_2 + v_1}{2}, mais je n'aime pas trop utiliser cette équation pour calculer la vitesse moyenne et en plus, j'imagine que retrouver les équations d'un MRUA doit être possible sans cette "version" de la vitesse moyenne.

Merci d'avance pour vos réponses et bonne journée.

Posté par
Coll Moderateurre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 08:23

Bonjour,

Ceci est juste :

a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}

Mais ceci est faux :

a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{x_2 - x_1}{(t_2 - t_1)^2} - \frac{v_1}{t_2 - t_1}

En l'écrivant tu supposes que v_2 = \frac{x_2 - x_1}{(t_2 - t_1)} ce qui est faux.

\frac{x_2 - x_1}{(t_2 - t_1)} est égale à la vitesse moyenne entre x1 et x2 et n'est pas égal (en général) à v2, la vitesse en x2

Posté par
Supradynre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 09:55

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Mais comment dois-je procéder, du coup? J'ai réessayé avec v_2 = \frac{x_2}{t_2 - t_1} , mais ça ne marche pas mieux...

Merci d'avance et salutations

Posté par
Coll Moderateurre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 10:23

Ce n'est pas ainsi que l'on s'y prend.

a est l'accélération, constante dans le temps

À la date t = 0 on pose que la vitesse ("vitesse initiale") vaut v0 et que la position ("position initiale") de l'objet est définie par x0

v(t) est la vitesse en fonction du temps, elle s'obtient en prenant la primitive de l'accélération tout en prenant en compte les conditions initiales :

v(t) = a.t + v0

et de même, la position en fonction du temps, x(t), s'obtient en prenant la primitive de la vitesse tout en prenant en compte les conditions initiales :

x(t) = (1/2).a.t2 + v0.t + x0

Tu peux ensuite écrire, si tu préfères ces notations, que :
v1 = v(t1)
v2 = v(t2)
x1 = x(t1)
x2 = x(t2)

Posté par
Supradynre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 13:28

Bonjour,

En fait, votre dernière réponse m'a complètement embrouillée, ce qui fait que je ne comprends plus rien du tout. Et bien sûr il y a la possibilité de passer par les primitives (ou les dérivées, c'est selon), mais je m'embrouille toujours avec ces histoires de dérivées ; je trouve cela moins clair et moins évident qu'en passant directement par les équations "basiques" que j'ai tentées d'utiliser jusqu'ici (il me faut toujours un temps de réflexion incroyable, à chaque fois, avant de comprendre pourquoi tel ou tel élément est la dérivée d'un autre. Bref, je n'aime pas du tout utiliser ça, je trouve ça beaucoup trop perturbant )

Enfin, vous me direz que maintenant je suis tout aussi embrouillée qu'avec les primitives, mais tant pis, je vais insister pour essayer de comprendre avec mes équations de base. J'ai voulu reprendre tout ça depuis le début et j'ai écrit ceci:

a(t_2) = a_2 = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1}

v(t_2) = v_2 = a_2 (t_2 - t_1) + v_1 = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}

v(t_1) = v_1 = a_2 (t_1 - t_0) + v_0 = \frac{x_1 - x_0}{t_1 - t_0} = \frac{x(t_1) - x(t_0)}{t_1 - t_0}

\Rightarrow a(t_2) = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{(t_2 - t_1)^2} - \frac{v(t_1)}{(t_2 - t_1)}

\Rightarrow a(t_2) + \frac{v(t_1)}{(t_2 - t_1)} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{(t_2 - t_1)^2}

\Rightarrow a(t_2)(t_2 - t_1)^2 + v(t_1)(t_2 - t_1) + x(t_1) = x(t_2)

De là viennent donc, encore, les questions suivantes:

1. Pourquoi est-ce que ce serait a_2 qui apparaît dans les équations de v(t_2) et v(t_1) plutôt qu'autre chose, comme a, a_1 ou a_0 par exemple. (Peut-être que vous me répondrez "parce que c'est un MRUA", mais dans ce cas-là pourquoi est-ce qu'on mon prof notait toujours a(t) = a_0 dans son cours? )

2. Pourquoi est-ce que je n'arrive toujours pas au résultat recherché (à savoir \frac{1}{2}a(t_2)(t_2 - t_1)^2 + v(t_1)(t_2 - t_1) + x(t_1) = x(t_2) )?

En vous remerciant d'avance pour votre réponse et pour le temps que vous m'avez déjà consacré jusqu'ici.

Posté par
Coll Moderateurre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 14:01

Tu ne peux pas faire ainsi.

L'accélération est constante. Elle ne dépend pas du temps. C'est pourquoi on écrit a (ou a0 peu importe) et non pas a(t) puisque l'accélération n'est pas une fonction du temps.

La vitesse change à tout instant. C'est pourquoi il faut employer une équation horaire v(t) = a.t + v0

Ce que tu appelles des équations "basiques" permettent de calculer des vitesses moyennes et non pas des vitesses instantanées.

Posté par
Supradynre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 20:08

Eh ben... je suis frustrée, parce que je ne comprends toujours pas pourquoi je ne peux pas faire ainsi.

Merci quand même pour l'aide et à bientôt

Posté par
Supradynre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 20:09

(Et je suis d'autant plus frustrée que j'ai encore regardé mes notes de cours et que j'ai vu que mon prof écrivait vraiment a(t) = a (avec une flèche au-dessus de a(t) pour indiquer qu'il s'agissait d'un vecteur).

Posté par
Coll Moderateurre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 20:27

Bien sûr un vecteur peut être constant et ne pas dépendre du temps.
Si tu aimes les notations compliquées tu as tout à fait le droit d'écrire \vec{a}(t)\;=\;\vec{a} sachant que pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré ce vecteur \vec{a} est un vecteur constant.

J'ai écrit pourquoi tu ne peux faire ainsi.
L'accélération est constante
Donc la vitesse change à tout instant. La vitesse moyenne entre t1 et t2 (ce que tu t'obstines à calculer) n'est ni la vitesse à l'instant t1 ni la vitesse à l'instant t2.

Il faut utiliser les dérivées ou les primitives. C'est d'ailleurs pour cela qu'elles ont été inventées !

Posté par
Supradynre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 20:40

Mais justement je ne comprends pas pourquoi ton explication est supposée justifier le fait que ce n'est pas possible de faire ainsi.

D'autant plus que dans le bouquin avec lequel je suis en train de travailler, ils y arrivent très bien, mais en utilisant cette équation: v_{moy} = \frac{v_2 + v_1}{2}

Et ils font ça ainsi:

v_2 = a(t_2 - t_1) + v_1

v_{moy} = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{a(t_2 - t_1) + v_1 + v_1}{2} = \frac{a(t_2 - t_1) + 2v_1}{2} = \frac{a(t_2 - t_1)}{2} + v_1

x_2 - x_1 = v_{moy} (t_2 - t_1) = \frac{a(t_2 - t_1)^2}{2} + v_1 (t_2 - t_1)

Donc x_2 = \frac{a(t_2 - t_1)^2}{2} + v_1 (t_2 - t_1) + x_1

Seulement, comme je le disais au tout début, je n'ai pas envie d'utiliser v_{moy} = \frac{v_2 + v_1}{2} car il m'a déjà fallu trop de temps pour comprendre d'où venait cette équation (et d'ailleurs je ne pense pas pouvoir la retrouver tout de suite si on me le demandait). L'idée c'est de comprendre comment se font les choses de telle sorte que je puisse l'expliquer du mieux possible si on me demandait de l'expliquer. C'est peut-être tordu comme idée mais je ne pense pas que j'aurai vraiment compris tant que je ne serai pas sûre de pouvoir expliquer les choses clairement à quelqu'un. Et pour l'instant ce n'est pas du tout le cas, puisque ces histoires de dérivées et de primitives ne sont pas claires (et pas simples) à mes yeux.

Posté par
Supradynre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 20:43

Et vu que c'est possible de le faire en utilisant v_{moy} = \frac{v_2 + v_1}{2}, je trouvais (et je trouve toujours) très perturbant le fait qu'on ne puisse pas le faire autrement qu'avec cette équation.

Posté par
Coll Moderateurre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 20:45

Tu peux en effet tourner en rond, mais cela ne démontre rien...

Dans ton précédent topic ( Vitesse moyenne d'un MRUA) je t'ai démontré comment calculer la vitesse moyenne à partir des équations horaires.

Il est en effet possible d'entrer dans un cercle vicieux et de calculer maintenant les équations horaires à partir de la vitesse moyenne.

Si tu ne comprends pas que c'est un cercle vicieux je ne peux rien pour toi.

Posté par
Supradynre : Retrouver équations du MRUA 21-07-14 à 20:52

C'est vrai que c'est assez tordu en fait, puisque pour montrer que v_{moy} = \frac{v_1 + v_2}{2} on utilise la définition de x_2 et x_1 que je cherchais justement à démontrer sans ces fichues dérivées.

Je vais aller brûler mes livres de physique.


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