C'est gonflé de faire osciller un objet dans l'eau ... et oser négliger les pertes par frottement.

Où est O ?

C'est un exercice du tutorat de ma fac de médecine, donc ce n'est pas forcément représentatif de la réalité, donc dans l'exercice on néglige les frottement, on est donc dans le cas d'un oscillateur parfait. L'origine O se trouve en bas du ressort au repos sans la masse m. Je viens de faire un schéma (en PJ).

Je m'en doutais et alors je ne suis d'accord ni avec ta solution ni avec celle du corrigé.

En prenant le niveau de référence pour les Epp nulles à la position de la masse suspendue au repos (pour être le plus proche de la réponse proposée, que je pense, cependant fausse):

En position Xmax :
Em = -mg(Xmax - Xéq) + Rho.v.g(Xmax - Xéq) + (1/2).k.Xmax²

En position Xmin :
Em = -mg(Xmin - Xéq) + Rho.v.g(Xmin- Xéq) + (1/2).k.Xmin²

Hors pertes par frottement (même si c'est absurde) :
-mg(Xmax - Xéq) + Rho.v.g(Xmax - Xéq) + (1/2).k.Xmax²  = -mg(Xmin - Xéq) + Rho.v.g(Xmin- Xéq) + (1/2).k.Xmin²

-mg.(Xmax-Xmin) + Rho.v.g(Xmax - Xmin) + (1/2).k.(Xmax²-Xmin²)  = 0

-mg.(Xmax-Xmin) + Rho.v.g(Xmax - Xmin) + (1/2).k.(Xmax-Xmin).(Xmax+Xmin)  = 0

et comme Xmax-Xmin est différent de 0 --->

-mg + Rho.V.g + (1/2).k.(Xmax+Xmin)  = 0

Xmax+Xmin = 2g.(m - Rho.V)/k

Xmin = 2g.(m - Rho.V)/k - Xmax
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Et en plus direct, on prend le niveau de référence pour les Epp nulles en x = 0 (peut se prendre n'importe où sans que cela modifie le résultat).

On a alors :

En position Xmax :
Em = -mg.Xmax + Rho.v.g.Xmax + (1/2).k.Xmax²

En position Xmin :
Em = -mg.Xmin + Rho.v.g.Xmin + (1/2).k.Xmin²

Hors pertes par frottement (même si c'est absurde) :
-mg.Xmax + Rho.v.g.Xmax + (1/2).k.Xmax²  = -mg.Xmin + Rho.v.g.Xmin + (1/2).k.Xmin²

-mg.(Xmax-Xmin) + Rho.v.g(Xmax - Xmin) + (1/2).k.(Xmax-Xmin).(Xmax+Xmin)  = 0

et comme dans la première partie, on arrive à : Xmin = 2g.(m - Rho.V)/k - Xmax
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Sauf distraction.  

D'accord merci beaucoup
mais il y a toujours quelque chose que je ne comprends pas: pourquoi, dans l'expression à Xmax par exemple, c'est -mg(Xmax-Xéq) et pas +mg(Xmax-Xéq) car Epp tend à ramener le mobile vers le bas, or l'axe Ox est dirigé vers bas, donc l'Epp tends à faire augmenter la valeur X de la position de l'objet nn ?

A l'inverse, la poussée d'archimède tends à faire remonter le mobile vers l'origine de l'axe, et donc faire diminuer la valeur x de l'objet, donc pour moi ce serai -Vg(Xmax-Xéq) et pas +Vg(Xmax-Xéq)?

Je penses qu'il y a quelque chose que je n'ai pas compris au niveau de l'addition des énergies dans le principe de la conservation des énergies, pourrais tu m'expliquer pourquoi mon raisonnement est-il faux ?  

Dans un champ de pesanteur g constant, l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet de poids P (=mg) situé en en un point A est Epp = mg.(altitude de A - altitude de R) avec R un point à l'altitude de référence pour les Epp nulles.

Mais dans le cas de l'exercice, l'axe vertical du repère a été choisi positif vers le bas ... donc dans le sens contraire des altitudes grandissantes.

Comme A (correspondant à Xmax) est plus bas que le point R (correspondant à Xéq), un objet en A à une Epp négative ---> Epp = - mg.(Xmax - Xéq)

Pour la poussée d'Archimède, elle est de sens contraire au poids et donc l'énergie potentielle liée à la poussée d'Archimède est de signe contraire à celle due au poids. -->

Ep(archi) = Rho.V.g.(Xmax - Xéq)
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Ce qui te trouble est probablement du au fait que l'axe vertical du repère a été choisi avec son sens positif vers le bas... et qu'il faut en tenir compte dans les raisonnement.

Oui effectivement c'est cette inversion de l'axe qui m'a perturbé, je me suis bien emmêlé les pinceaux
En tout cas je te remercie grandement pour ton explication et ta rapidité !!!

A bientot