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Electrostatique: exercice d'application théorème de Gauss


école ingénieurElectrostatique: exercice d'application théorème de Gauss

#msg2172845#msg2172845 Posté le 22-02-12 à 16:57
Posté par ProfilSamossa Samossa

Voilà je bloque sur un exo

il s'agit d'une distribution de charges électrostatiques à symétrie sphérique constitué par deux sphères,
-la sphère de rayon R, la charge volumique est nulle ( 1 )et la charge surfacique est o R

-dans la sphère de rayon 2R de meme centre, la charge comprise entre les deux sphères (et dont la densité est fonction de la distance r au centre) est 2 = -o R^2/r^2 ou o est un constante positive , la charge à la surface de la sphère de rayon 2R est -o R

On se place en coordonnées sphériques (donné par l'exo) donc \vec{OM} =r r
Il faut que je détermine le champ en tout point M de l'espace

En utilisant Gauss :
2 plans de symétrie (M, uz, uthéta) et (M,ur, uz)
Invariance par rotation autour de O
Donc le champ ne dépend que de r et le vecteur est dns la direction de ur

On choisit comme surface de Gauss une sphère de rayon r de centre O
Ensuite il me semble qu'il faut distinguer les cas :

*si r<R alors la charge intérieure Qint=0 donc E(r)=0    (pas sure)

*si R<r<2R  alors c'est justement là ou je bloque, j'ai calculer la charge intérieure en considérant le volume chargé entre les deux sphères, et j'ajoute les charges dues à la surface de la sphère de rayon R (Est ce juste ? ), mais comment fait on pour calculer le flux sortant ?? On fait une intégrale dont les bornes sont R et r (variable) ??

* si r>R , il faut ajouter toutes les charges, et pour le flux je trouve 16 E(r) R^2 mais ça me semble faux ...


Pouvez vous m'aider SVP ?

Edit Coll : \LaTeX
re : Electrostatique: exercice d'application théorème de Gauss#msg2172846#msg2172846 Posté le 22-02-12 à 16:58
Posté par ProfilSamossa Samossa

Le Bonjour à tous a sauter !
Electrostatique: exercice d'application théorème de Gauss#msg2173037#msg2173037 Posté le 23-02-12 à 17:52
Posté par Profilprbebo prbebo

Bonjour Samossa,

voici les explications, a suivre avec le schema ci-dessous :
J'appelle = 0R la densite superficielle de charge sur la sphere de rayon R, sachant que sur l'autre la densite superficielle est - . L'espace est divise en trois regions : (1), l'interieur de la sphere de rayon R ; (2), l'espace compris entre les deux spheres ; (3), le reste.


1)  calcul des charges :
Sur la sphere de rayon R, la charge repartie en surface est Q1s = .4R2 = 40R3 ;
Sur la sphere de rayon 2R, la charge repartie en surface est Q2s = -.4(2R)2 = - 160R3 ;
Entre les deux spheres il faut prendre la densite volumique de charges (x) = -0.R2/x2, utiliser l'element de volume en coordonnees spheriques avec symetrie spherique soit d = 4x2.dx, et integrer de x = R a x = 2R. Je te passe le detail du calcul, on trouve Q2 = -40R3.
Pour trouver le champ dans la region 2, on aura besoin aussi de la charge q2(r) contenue entre la sphere de rayon R et celle de rayon r ; en integrant l'expression precedente entre x = R et x = r, on obtient q2(r) = -40R2(r - R). Attention, les majuscules et minuscules pour R et r sont importantes.

2) Expression du champ electrostatique :
Le probleme est a symetrie spherique, donc la sphere de Gauss est une sphere centree sur O et de rayon r. Le flux de E sortant de cette sphere est (r) = E(r).4r2.
Il ne reste plus qu'a comparer cette expression avec la quantite de charges Q enfermee dans la sphere de Gauss divisee par 0 pout obtenir la norme du champ electrostatique en tout point M a la distance OM = r du centre de symetrie O. On obtient en effet E = Q/(40r2).
Je n'etudie pas tout de suite ce qui sepasse a la traversee des deux surfaces chargees. les inegalites ci-dessous sont donc strictes.

3a) region 1, r < R :
Pas de charges dans , Q = 0 donc E1 = 0.

3b) region 2, R < r < 2R :
Q = Q1s + q2(r), soit E2(r) = 1/(40r2).(80R3 - 40R2r).

3c) region 3, r > 2R :
Q = Q1s + Q2 + Q2s, ce qui apres simplification donne E3(r) = - 40R3/(0r2).

4) traversee des surfaces chargees :
Rappel : a la traversee d'une surface contenant des charges reparties avec la densite superficielle . le champ subit une discontinuite de /0.

a)  Traversee de la sphere de rayon R :
Pour r < R et r R, l;e champ est nul ; pour r > R et r R, E2 tend vers la valeur E2(R) = 0R/0 = /0. Donc c'est verifie.

b)  Traversee de la sphere de rayon 2R :
Pour r < 2R et r 2R, E2 tend vers 0 (en effet, Q1s et Q2 sont egales et de signe oppose). Pour r > 2R et r 2R, E3 tend vers la valeur -40R3/[0.(2R)2] = - 0R/0, donc - /0. Verifie aussi.

Si tu as des questions, n'hesiet pas a poster.

Prbebo.

Electrostatique: exercice d'application théorème de Gauss
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école ingénieurElectrostatique: exercice d'application théorème #msg2175245#msg2175245 Posté le 08-03-12 à 15:19
Posté par Profilprbebo prbebo

Bonjour Samossa,

alors, que pense-tu de la solution que j'ai donnee a ton probleme ? Il semblerait que ton remerciement ait saute, lui aussi...

Prbebo.
re : Electrostatique: exercice d'application théorème de Gauss#msg2178105#msg2178105 Posté le 04-04-12 à 17:27
Posté par Profilgus3000 gus3000

Bonjour Prbebo

Je ne m'appelle pas Samossa mais je te remercie quand même, ton explication m'a bien aidé !

gus3000
Electrostatique: exercice d'application théorème de Gauss#msg2178184#msg2178184 Posté le 05-04-12 à 14:06
Posté par Profilprbebo prbebo

Bonjour gus3000,

je suis satisfait de voir que ce corrige, dont la frappe m'a pris presque une heure, a fini par servir a quelqu'un. En effet, avec Samossa j'ai vraiment eu l'impression de parler dans le vide.

Si tu as d'autres pb, avec l'electrostatique ou autre, n'hesite pas a mettre un enonce sur ce forum.

Prbebo.

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