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lois de snell-descartes

Posté par
zaza 07-11-09 à 10:47

BONJOUR

Un maitre nageur se déplace a la vitesse v1=5m/s sur la plage, et à la vitesse v2=2m/s dans l'eau. on veut connaitre la trajectoire optimale lui permettant, depuis le point A, de rejoindre le plus rapidement possible un baigneur au pont B, définit par les distances h1, h2 et d.
Dans un milieu donné, la portion de la trajectoire optimale est rectiligne. la seule inconnue est l'abscisse x du point I qui délimite les deux portions de trajectoire.

schema: lois de snell-descartes

a) exprimer la fonction à minimiser (le temps de parcours t) en fonction des longueurs l1 et l2 et des vitesses v1 et v2

b) exprimer l1 et l2 en fonction des distances x, h1, h2 et d. reporter ces expressions dans celle de t que vous considérerez comme une fonction de la variable x.

c) cherchez la valeurs de x pour laquelle t'(x)=0 on admettra qu'elle correspond bien à un minimum ( pour cela il faut aussi t''(x)>0)

d) montrer alors que si x vérifie l'équation précedente, le point I est tel que les angles 1 et 2 vérifient la loi de snell- descartes: (sin1/vi)=(sin2/v2).
En introduisant une vitesse de référence arbitraire, et en définissant les indices de réfraction n1 et n2 appropriés, montrer que l'équation précedente se ramène à la forme vue en cours.

voila pour l'énoncé je n'y arrive pas si quelqu'un peut essayer de m'expliquer d'une facon détaillee... merci de votre aide

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois !     

Posté par
zazare : lois de snell-descartes 07-11-09 à 12:04

pour la a) j'ai répondu t= l1/v1 + l2/v2

Posté par
zazare : lois de snell-descartes 07-11-09 à 12:22

et donc pour le b) (((x2+ h12))/ v1) + ((((d-x)2+ h22))/ v2)

Posté par
Marc35re : lois de snell-descartes 07-11-09 à 13:55

Bonjour,
Oui... Il faut donc calculer t'(x)

Posté par
zazare : lois de snell-descartes 07-11-09 à 19:05

je fais la dérivée puis la dérivee seconde???

Posté par
Marc35re : lois de snell-descartes 07-11-09 à 20:20

Au moins la dérivée t'(x)...
Puisqu'on dit "cherchez la valeurs de x pour laquelle t'(x)=0 on admettra qu'elle correspond bien à un minimum ( pour cela il faut aussi t''(x)>0)"...
Rien ne t'empêche de vérifier en calculant la dérivée seconde mais ce n'est pas obligatoire .

Posté par
zazare : lois de snell-descartes 07-11-09 à 20:30

ca y est la dérivée est faite mais apres? je fais quoi??

Posté par
zazare : lois de snell-descartes 07-11-09 à 20:49

au secour pour la c je ne sais pas quand j'ai répondu a la question je ne m'en sors pas et la d je ne la comprend pas

Posté par
Marc35re : lois de snell-descartes 08-11-09 à 11:41

Il faut résoudre t'(x) = 0 pour la c...
Bon, je vais calculer la dérivée pour voir ce que ça donne...
Il s'agit d'un exercice classique qui montre que la lumière fait comme tout le monde... Elle choisit le chemin le plus court !!

Posté par
Marc35re : lois de snell-descartes 08-11-09 à 13:16

Je trouve :
t^'(x)\,=\,\frac{1}{v_1}\,\frac{x}{sqrt{x^2+h^2_1}}\,-\,\frac{1}{v_2}\,\frac{d-x}{sqrt{(d-x)^2+h^2_2}}
L'inconvénient est que, si on essaye de faire t'(x) = 0, on tombe sur une équation du 4ème degré en x comportant des termes en x4, x3, x2, x et sans x, donc une équation que l'on ne peut pas résoudre analytiquement. Il existe peut-être une ruse que je n'ai pas vue pour l'instant...
La question d, par contre, est facile ...

Posté par
zazare : lois de snell-descartes 08-11-09 à 14:06

voila j'arrive au meme resultat pour la c mais apres je ne sais pas quoi faire. concernant la question d je ne la comprend pas en fait que dois-je faire

Posté par
Marc35re : lois de snell-descartes 08-11-09 à 15:41

t^'(x)\,=\,\frac{1}{v_1}\,\frac{x}{sqrt{x^2+h^2_1}}\,-\,\frac{1}{v_2}\,\frac{d-x}{sqrt{(d-x)^2+h^2_2}}\,=\,0
==> \frac{1}{v_1}\,\frac{x}{sqrt{x^2+h^2_1}}\,=\,\frac{1}{v_2}\,\frac{d-x}{sqrt{(d-x)^2+h^2_2}}
On a :
sin\,\theta_1\,=\,\frac{x}{sqrt{x^2+h^2_1}}
et :
sin\,\theta_2\,=\,\frac{d-x}{sqrt{(d-x)^2+h^2_2}}
Donc :
t^'(x)\,=\,\frac{sin\,\theta_1}{v_1}\,-\,\frac{sin\,\theta_2}{v_2}\,=\,0
\frac{sin\,\theta_1}{v_1}\,=\,\frac{sin\,\theta_2}{v_2}
Ce qui constitue la première partie de la question.

Si on multiplie par une "vitesse de référence arbitraire" que l'on appelle vref :
\frac{v_{ref}}{v_1}\,sin\,\theta_1\,=\,\frac{v_{ref}}{v_2}\,sin\,\theta_2
Si on pose :
n_1\,=\,\frac{v_{ref}}{v_1}
et
n_2\,=\,\frac{v_{ref}}{v_2}
On aboutit à la relation :
n_1\,sin\,\theta_1\,=\,n_2\,sin\,\theta_2

Ce qui est, je suppose, "la forme vue en cours".

Posté par
Marc35re : lois de snell-descartes 08-11-09 à 15:49

Pour la c, t'(x) = 0 :
t^'(x)\,=\,\frac{1}{v_1}\,\frac{x}{sqrt{x^2+h^2_1}}\,-\,\frac{1}{v_2}\,\frac{d-x}{sqrt{(d-x)^2+h^2_2}}\,=\,0
\frac{1}{v_1}\,\frac{x}{sqrt{x^2+h^2_1}}\,=\,\frac{1}{v_2}\,\frac{d-x}{sqrt{(d-x)^2+h^2_2}}
Pour résoudre ça, je ne vois pas (pour le moment) d'autre possibilité que d'élever au carré ...
Ce qui nous conduit inéluctablement à l'équation en x4 évoquée plus haut...
Donc il faut trouver un moyen d'éviter ça ...

Posté par
zazare : lois de snell-descartes 08-11-09 à 17:23

merci beaucoup pour la d, pour la c je cherche mais j'arrive a une équation du 4eme degré donc meme en factorisant je n'y arrive pas

Posté par
Marc35re : lois de snell-descartes 08-11-09 à 17:48

On ne peut pas trouver analytiquement les solutions d'une équation du 4ème degré qui n'est pas particulière (par exemple, bicarrée ou symétrique)...
On s'arrête aux équations du 3ème degré (méthode de Cardan).
Il faut éviter le 4ème degré mais je n'ai pas encore trouvé comment.
Si tu as la solution un jour, ça m'intéresse...

Posté par
zazare : lois de snell-descartes 08-11-09 à 18:54

je te répondrai dès que j'ai la correction

Posté par
Marc35re : lois de snell-descartes 08-11-09 à 19:18

OK

Posté par
takyonefre : lois de snell-descartes 26-03-16 à 00:31

Bonjour à tous , je vous poste un lien duquel vous pourrez télécharger la solution à votre problème , travail que j'ai effectué il y à quelques années , l'équation du quatrième degré que vous voulez résoudre est à 2 solutions réelles et donc il existe une écriture de la solution par radicaux , j'espère que vous serez satisfaits .



***Raccourci url ajouté***

Posté par
vanoisere : lois de snell-descartes 26-03-16 à 11:09

Bonjour,
Je ne comprends pas pourquoi il serait nécessaire de résoudre une équation de degré 4.
La solution proposée par Marc35 le   08-11-09 à 15:41 est parfaite et physiquement suffisante. Il s'agit je suppose de préparer l'introduction du principe de Fermat en optique géométrique...

Posté par
takyonefre : lois de snell-descartes 26-03-16 à 14:24

Question c) : trouver x pour t'(x)=0

Posté par
vanoisere : lois de snell-descartes 26-03-16 à 15:02

Bonjour takyonef

Citation :
Question c) : trouver x pour t'(x)=0

Tu as raison ! Désolé pour mon intervention intempestive ! J'aurais dû mieux lire l'énoncé au lieu de me concentrer uniquement sur l'intérêt physique de l'exercice...

Posté par
takyonefre : lois de snell-descartes 26-03-16 à 16:26

Pas de problème , je suis un peu étonné que l'on pose cette question là dans un exercice , trouver la loi de Snell-Descartes n'est pas trop difficile , déterminer x pour que la dérivée s'annule l'est beaucoup plus (et surtout très long) , et à ma connaissance il n'existe pas d'autre moyen d'y parvenir , ni de simplification de l'écriture de la solution .Ci joint un lien pour télécharger la méthode de résolution employée dans le document que j'ai envoyé précédemment (qui est suffisant si l'on veux juste appliquer la formule) , ce n'est pas la méthode d'origine de Ludovico Ferrari , celle ci est due soit à Descartes soit à Lagrange (et remaniée à ma sauce personnelle ) .



***Raccourci url ajouté***

Posté par
vanoisere : lois de snell-descartes 26-03-16 à 23:15

Merci pour ce lien très intéressant mais effectivement, le professeur qui a donné cet exercice en physique au niveau (bac+1) ne s'est probablement pas tout à fait rendu compte de ce qu'il demandait...

Posté par
takyonefre : lois de snell-descartes 26-03-16 à 23:33

Non , en effet ...


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