Niveau terminale

Méthode de Bessel et Silbermann

Posté par
gnova 01-10-07 à 22:09

Bonsoir, j'ai un ptit problème pour cet exercice:
Un objet lumineux est placé à la distance D d'un écran. On place une lentille convergente (distance focale f) entre l'objet et l'écran.
.Montrer que si D>4f, on peut obtenir deux images nettes sur l'écran pour deux positions de la lentille situées à égale distance du milieu de l'intervalle objet-image.
.Exprimer f en fonction de D et de la distance d qui sépare les deux positions de la lentille. Effectuer l'application numérique pour D=2m et d=0.80m. Calculer le grandissement pour les deux positions de la lentille.
.Cas particulier où D=4f. Quel est alors le grandissement?

J'ai fait ça pour les 2 premières questions mais je ne sais pas si c'est ça et la 3ème je n'y arrive pas si vous pouviez m'aider:

.AO+OA'=D <=> OA'=D-AO <=> OA'=D+OA
1/f'=-1/OA+1/OA'=-1/OA+1/(D+OA)
(D+OA)OA=-f'(D+OA)+f'OA
(Je comprends pas trop la transition des 2 dernières égalités au dessus :s)
On pose OA=x
D'où Dx+x²=-f'D-f'x+f'x
x²+Dx+f'D=0
=D²-4f'D
Si D>4f'
On a alors >0 donc 2 solutions:
x1=(-D-(D²-4f'D))/2
x2=(-D+(D²-4f'D))/2
x1-x2=0=d
.f'=(D²-d²)/(4D)0.42m
y=OA'/OA=-0.52

Merci de votre aide

Posté par re : Méthode de Bessel et Silbermann 02-10-07 à 08:26

Bonjour,

J'écris à nouveau la solution, et j'adopte $\bar{OA'}\,=\,x$
Formule de conjugaison pour une lentille mince de centre O, formule dite de Descartes
Le pied de l'objet est en A
Le pied de l'image est en A'
Le foyer image est en F'
L'axe optique est orienté (dans le sens de propagation de la lumière)

$3$\frac{1}{\bar{OA'}}\;-\;\frac{1}{\bar{OA}}\;=\;\frac{1}{\bar{OF'}}$

$3$\frac{1}{x}\;+\;\frac{1}{D-x}\;=\;\frac{1}{f'}$

x² - Dx + Df' = 0

Il y a deux solutions si = D² - 4Df' > 0 donc si D > 4f'

ces solutions sont

$x_1\;\rm{,}\;x_2\;=\;\frac{D}{2}\,\pm\,\frac{\sqr{\Delta}}{2}$

elles sont les positions de deux points symétriques par rapport au milieu d'abscisse D/2 du milieu de AA'

$\frac{d}{2}\;=\;\frac{\sqr{\Delta}}{2}$

donc d² = D² - 4Df'
et
f' = (D² - d²)/4D

Application numérique :
f' = 0,42 m

Grandissements :
Si $\bar{OA}$ = -1,40 m et $\bar{OA'}$ = +0,60 m alors $3$\gamma\;=\;\frac{\bar{A'B'}}{\bar{AB}}\;=\;\frac{\bar{OA'}}{\bar{OA}}$ = 0,60 /(-1,40) = -0,43 fois

Si $\bar{OA}$ = -0,60 m et $\bar{OA'}$ = +1,40 m alors $3$\gamma\;=\;\frac{\bar{A'B'}}{\bar{AB}}\;=\;\frac{\bar{OA'}}{\bar{OA}}$ = 1,40 /(-0,60) = -2,33 fois

Que se passe-t-il pour D = 4f' ?

Posté par Bonsoir 03-10-07 à 21:09

Merci de ta réponse, j'ai lu tout ça et je vais le refaire pour essayer de bien comprendre et pouvoir le refaire toute seule ensuite (même si aujourd'hui ma prof nous a dit qu'en fait cet exercice était infaisable pour nous x_x)
Pour D = 4f' ben je pense qu'il y aura donc une seule solution...

Encore merci et bonne soirée.

Posté par re : Méthode de Bessel et Silbermann 03-10-07 à 22:12

Oui, une seule solution. Et que vaudra dans ce cas le grandissement ?

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