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Statistique de Fermi-Dirac



Statistique de Fermi-Dirac : encyclopédie physique

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En m√©canique quantique et en physique statistique, la statistique de Fermi-Dirac d√©signe la distribution statistique de fermions indiscernables (tous similaires) sur les √©tats d'√©nergie d'un syst√®me √† l'√©quilibre thermodynamique. La distribution en question tient √† une particularit√© des fermions : les particules de spin demi-entier sont assujetties au principe d'exclusion de Pauli, √† savoir que deux particules ne peuvent occuper simultan√©ment un m√™me √©tat quantique.

Note historique : un probl√®me de statistique[modifier | modifier le code]

Avant l'avènement de la distribution de Fermi-Dirac dans les années 1920, notre compréhension du comportement des électrons dans les métaux était très rudimentaire. Ainsi on ne comprenait pas très bien pourquoi les électrons participent en grand nombre dans la conduction du courant électrique dans un métal et que ce nombre devenait extrêmement réduit quand il s'agit de contribuer à la capacité calorifique du même métal. Il y a manifestement ici un problème de statistique qui se pose dans l'évaluation de la capacité calorifique des métaux. L'explication fut apportée précisément par la distribution de Fermi-Dirac qui révéla que seuls les états situés près du niveau de Fermi, étaient sollicités pour la contribution à la capacité calorifique du métal.

Statistique de Fermi-Dirac[modifier | modifier le code]

La statistique de Fermi-Dirac a √©t√© introduite en 1926 par Enrico Fermi et Paul Dirac. En 1927 elle fut appliqu√©e aux √©lectrons dans un m√©tal par Arnold Sommerfeld. Statistiquement, le nombre ni de particules dans l'√©tat d'√©nergie Ei est donn√© par :

 n_i = \frac{ g_i } { \exp ( \frac{ E_i - \mu } { k_{B} T } ) + 1 }\

o√Ļ :

  • gi   est la d√©g√©n√©rescence de l'√©tat d'√©nergie Ei , √† savoir le nombre d'√©tats poss√©dant cette √©nergie ;
  • őľ   est le potentiel chimique ;
  • kB   est la constante de Boltzmann ;
  • T   est la temp√©rature absolue.

Utilisation de cette distribution[modifier | modifier le code]

Les distributions de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac sont utilis√©es lorsque les effets quantiques sont pris en compte, et lorsque les particules sont consid√©r√©es comme indiscernables. Cela correspond √† une concentration de particules (N/V) sup√©rieure √† une certaine densit√© d'√©tat, c'est-√†-dire que la distance intermol√©culaire est inf√©rieure √† celle de la longueur d'onde thermique de de Broglie. Les fonctions d'onde peuvent ¬ę se toucher ¬Ľ mais pas se superposer.

Limite classique et comparaison avec les bosons[modifier | modifier le code]

√Ä haute temp√©rature, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Fermi-Dirac tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann ; il en est de m√™me pour la statistique de Bose-Einstein qui r√©git les bosons. √Ä basse temp√©rature, si les particules occupent en priorit√© les niveaux d'√©nergie les plus faibles, les statistiques diff√®rent cependant. Par exemple, √† temp√©rature nulle :

  • avec la statistique de Fermi-Dirac, le niveau de plus basse √©nergie, E0 , est occup√© par au plus g0 fermions; les √©tats de basse √©nergie Ei sont ensuite occup√©s chacun dans l'ordre croissant des √©nergies par au plus gi fermions jusqu'√† √©puisement de ces derniers;
  • avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse √©nergie contient tous les bosons (cas limite du condensat de Bose-Einstein).

Gaz de fermions quantiques[modifier | modifier le code]

Les électrons dans les solides forment un gaz de fermions dont la description requiert la statistique de Fermi-Dirac. Récemment, le refroidissement de gaz d'atomes dilués fermioniques jusqu'à des températures de l'ordre du \muK a permis d'obtenir des gaz de fermions dégénérés, uniquement descriptibles par cette statistique.

Effet de la température sur la distribution de Fermi-Dirac[modifier | modifier le code]

En bas de page de ce cours, une application interactive animée, écrite en langage java, montre l'effet de la température T sur la distribution de Fermi-Dirac. On y voit notamment pourquoi seuls les états près du niveau de Fermi sont sollicités lors de la conduction.

Références[modifier | modifier le code]

  • Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, √Čvelyne Kolb), Physique de l‚Äô√©tat solide [¬ę Solid state physics ¬Ľ],‚Äé 1998 [d√©tail des √©ditions]

Voir également[modifier | modifier le code]

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